Асимптоты графика функции.

I. Вертикальные асимптоты возникают в том случае, если в конечной точке функция имеет бесконечный предел.

Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции

, если .

Если только или , то прямая

называется соответственно левосторонней или правосторонней вертикальной асимптотой.

Примеры. а)

- (двусторонняя)

вертикальная асимптота.

б)

-

(двусторонние) вертикальные

асимптоты.

 

 

(в) в)

- правосторонняя

вертикальная асимптота.

 

 

Кривая называется асимптотой графика функции , если ,

т.е. , где - б.м. при .

Пример. . Криволинейная асимптота - . Т.о. на бесконечности график функции приближается к параболе .

Далее мы будем рассматривать только прямолинейные асимптоты.

 

II. Горизонтальные асимптоты возникают в том случае, если на бесконечностифункция имеет конечный предел.

 

Определение. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции

, если .

Если только или , то прямая

называется соответственно левосторонней или правосторонней горизонтальной

асимптотой.

Примеры. а) .

- (двусторонняя) горизонтальная асимптота.

б)

- (двусторонняя) горизонтальная асимптота.

(в) в)

- левосторонняя горизонтальная асимптота.

 

III. Наклонные асимптоты.

Определение. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции

, если .

Если только или , то

прямая называется соответственно левосторонней или правосторонней

наклонной асимптотой.

Способы отыскания наклонных асимптот:

1) По определению. , где - б.м. при .

Если - рациональная функция, т.е. , то можно разделить на

«уголком».

Пример.

- (двусторонняя) наклонная асимптота.

Замечание. Этот способ дает возможность по знаку остатка определить, проходит график функции выше или ниже асимптоты. Вообще, если - наклонная асимптота графика функции , то по знаку разности можно определить расположение графика относительно асимптоты на том или ином промежутке.

 

2) Выведем формулы для нахождения и в уравнении наклонной асимптоты.

, где - б.м. при . (см.выше)

, здесь и - б.м. при

, т.е.

, т.е.

Пример. .

.

- (двусторонняя) наклонная асимптота.

 

Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной (при ).

 

Задание. 1) Найти полный набор асимптот графика функции:

а) ; б) ; в) ; г) ;

(в) д) .

2)Найти область определения, промежутки знакопостоянства и полный набор асимптот, построить эскиз графика функции: а) ; б) ; в) ; (в) г) ; (в) д) ; (в) е) .