Определение коэффициента вариации

, (6.1)

где С – смещение начала рассеивания показателя надежности

При N>25

С=t₁-A/2, (6.2)

Где А – длина интервала

 

 

7. Выбор теоретического закона распределения для выравнивания опытной информации

 

В первом приближении теоретический закон распределения выбираем по значению коэффициента вариаций:

При V<0,3 выбираем закон нормального распределения

При V>0,5 выбираем закон распределения Вейбула

Для данного примера подходит ЗРВ, но расчет производим по обоим законам.

 

7.1. Использование для выравнивания распределения опытной информации ЗНР

 

Закон нормального распределения характеризуется дифференциальной (функцией плотностей вероятностей) и интегральной (функцией распределения) функциями. Отличительная особенность дифференциальной функции – симметричное рассеивание частных значений показателей надежности относительно среднего значения.

Дифференциальную функцию описывают уравнением:

, (7.1)

где - среднее квадратическое отклонение; - основание натурального логарифма (); - значение i-того показателя надежности; - среднее значение показателя надежности.

Если принять и , то получим выражение для центрированной нормированной дифференциальной функции:

. (7.2)

Для определения дифференциальной функции через центрированную нормированную функцию используют уравнение:

, (7.3)

где А – длина i-того интервала; - середина i-того интервала.

Кроме того, следует пользоваться уравнением:

. (7.4)

Определим значение дифференциальной функции, используя таблицу 1.

Интегральная функция или функция распределения:

. (7.5)

Если принять и , то получим выражение для центрированной нормированной дифференциальной функции:

. (7.6)

Для определения интегральной функции через используют уравнение:

, (7.7)

где t_Ki– значение конца i-того интервала.

При этом используют уравнение:

. (7.8)

Определим значение интегральной функции, используя таблицу 2.

Таблица 11 - Рассчитанные значения дифференциальной и интегральной функций по всем интервалам статистического ряда

Интервал, мото-ч	1124-1556,7	1556,7-1989,3	1989,3-2422	2422-2854,7	2854,7-3287,3	3287,3-3720
f(t)	0,13	0,24	0,26	0,19	0,09	0,03
F(t)	0,2	0,43	0,7	0,88	0,97	0,99

 

На основании полученных значений f(t) и F(t) строим графики дифференциальной и интегральной функций. Дифференциальная кривая заменяет полигон распределения, а интегральная – кривую накопленных опытных вероятностей.

Рис. 4 – Дифференциальная кривая

 

Рис. 5 – Интегральная кривая

Определяем количество двигателей, потребующих ремонта в интервале наработки 3056,7…3556,7 мото-ч.

Определяем по дифференциальной функции

Количество двигателей

Определяем по интегральной функции

Количество двигателей

 

7.2. Использование для выравнивания распределения опытной информации ЗРВ

Дифференциальную функцию или функцию плотности вероятностей определяют при законе распределения Вейбулла по уравнению:

, (7.9)

Где а и b – параметры закона распределения Вейбулла; ­е – основание натурального логарифма; - значение i-того показателя надежности

По таблице №3 методического пособия определяем, что при V=0,54 значения b=1,9;К_b=0,89;С_b=0,49

Параметр а - определяется по уравнению

, (7.10)

Дифференциальная функция определяется по таблице №5 методического пособия, при этом используется уравнение:

, где (7.11)

А– длина интервала статистического ряда; t_Ci– середина интервала статистического ряда; С– смещение начала рассеяния

Рассчитаем дифференциальную функцию:

Интегральная фунция или функция распределения закона Вейбулла определяется по уравнению:

, (7.12)

Эту функцию определяем по таблице №6 методического пособия, используя уравнение:

, (7.13)

Рассчитаем интегральную функцию:

Таблица 12 - Значения дифференциальной и интегральной функций по всем интервалам статистического ряда

Интервал, мото-ч	1124-1556,7	1556,7-1989,3	1989,3-2422	2422-2854,7	2854,7-3287,3	3287,3-3720
f(t)	0,18	0,28	0,23	0,18	0,10	0,03
F(t)	0,24	0,46	0,72	0,89	0,95	0,98

 

Рис. 6 – Дифференциальная кривая

 

 

Рис. 7 – Дифференциальная кривая

 

Определим число двигателей, потребующих ремонта в интервале наработки 3056,7…3556,7 мото-ч

По дифференциальной функции

Количество двигателей

По интегральной функции

Количество двигателей

 

 

 

8. Оценка совпадений опытного и теоретического законов распределения показателя надежности по критерию согласия Пирсона

 

Критерий согласия Пирсона определяется по уравнению:

, (8.1)

где n_y - число интервалов в укрупненном статистическом ряду;

m_Ti – теоретическая частота в i-ом интервале;

m_i - опытная частота в i-ом интервале

Определяется по уравнению:

, (8.2)

где и - интегральные функции i-го и (i-1)-того интервалов статистического ряда

Для определения строят укрупненный статистический ряд, при этом соблюдают условие n_y>4, m_i 5. При этом допускается объединение соседних интервалов, в которых m_i<5.

Проанализировав статистический ряд информации о доремонтных ресурсах двигателя, получаем, что m₄=3; m₅=2; m₆=2, следовательно, необходимо объединить эти интервалы, тогда опытная частота в объединенном интервале будет равна m₄=7. В остальных интервалах статистического ряда опытные частоты больше пяти, поэтому эти интервалы оставляем без изменения.

Таблица 13 – Укрупненный статистический ряд

Интервал, мото-ч	1124-1556,7	1556,7-1989,3	1989,3-2422	2422-3720
Опытная частота, mi
При ЗНР	F(t)	0,2	0,43	0,7	0,99
mTi	5,6	6,44	7,56	8,12
При ЗРВ	F(t)	0,24	0,46	0,72	0,98
mTi	6,72	6,16	7,28	7,28

 

Теоретические частоты при ЗНР определяют следующим образом:

Теоретические частоты при ЗРВ:

Тогда критерий согласия Пирсона:

- при ЗНР

- при ЗРВ

 

Вывод: в данном примере выбираем ЗНР т.к

Кроме этого пользуясь значениями критерия и таблицей №11 определяют вероятность совпадения (Р,%) опытных и теоретических распределений. Для входа в таблицу необходимо определить номер строки.

где К=3-число обязательных связей.

Значения критериев находим в первой строке таблицы. Вероятность совпадения ЗНР около 67% и ЗРВ около 72%. Критической вероятностью совпадения принято считать Р=10%. Если Р<10%, то выбранный теоретический закон для выравнивания опытного распределения следует считать непригодным.

 

 

9. Определение доверительных границ рассеивания одиночного и среднего значения показателя надёжности

 

Количественные характеристики показателей надежности (среднее значение, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации), полученные в результате обработки опытной информации, должны быть перенесены на другие совокупности машин, работающие в других режимах и условиях эксплуатации. Однако, несмотря на случайный характер, характеристики показателя надежности рассеиваются в определенных границах. Так, одиночное значение показателя надежности конкретной машины может отличаться в 997 случаях из 1000 от среднего значения на величину при ЗНР и на величину 0,1а…2,5а при ЗРВ (где а – параметр закона распределения Вейбулла).

Такая высокая степень доверия расчета, охватывающего 99,7% всех случаев, при расчете показателей надежности сельскохозяйственной техники считается излишней. Поэтому степень доверия расчета обычно принимают меньше 99,7% и тем самым сближают границы рассеивания одиночного показателя надежности.

Степень доверия расчета на рис.8 оценивают площадью под дифференциальной кривой, ограниченной осью абсцисс и доверительными границами и .

Площадь характеризует степень доверия расчета и гарантирует заданную вероятность попадания показателя надежности в соответствующий интервал его значений. Поэтому ее называют доверительной вероятностью .

При расчете доверительных границ рассеивания показателей надежности рекомендуется принимать следующие значения доверительных вероятностей : 0,80; 0,90; 0,95; 0,99.Вданном примере =0,95. Интервал, в который при заданной доверительной вероятности попадает 100% общего числа объектов совокупности N, называют доверительным интервалом .

Границы, в которых может колебаться значение одиночного показателя надежности при заданной доверительной вероятности, называют нижней и верхней доверительными границами.

 

 

Рис. 8 – Доверительные границы одиночного и среднего значений показателя надежности

1 и 3 – дифференциальная и интегральная функции одиночного значения;

2 и 4 – дифференциальная и интегральная функции среднего значения

 

Положение доверительных границ и доверительный интервал зависят от доверительной вероятности и закона распределения одиночного или среднего значения показателя надежности.

 

9.1.Определение доверительных границ рассеивания при законе нормального распределения

 

Определяем абсолютную предельную ошибку переноса опытных характеристик показателя надёжности.

, (9.1)

где - коэффициент Стьюдента определяется по таблице №12 методического пособия.

При β =0,95 и N=28 - =2,04

Нижняя доверительная граница равна

, (9.2)

где - среднее значение показателя надежности

Верхняя доверительная граница равна

, (9.3)

Доверительный интервал

, (9.4)

Определение доверительных границ среднего значения показателя надежности при ЗНР

Расчетная схема и физический смысл доверительных границ среднего значения показателя надежности те же, что и для одиночного. Разница заключается в значении теоретического среднеквадратического отклонения.

Среднее квадратическое отклонение рассеивания среднего значения показателя надежности:

, (9.5)

где N– общее число объектов в совокупности

Нижняя доверительная граница среднего значения показателя надежности:

, (9.6)

Верхняя доверительная граница среднего значения показателя надежности:

, (9.7)

Доверительный интервал среднего значения показателя надежности:

, (9.8)

 

9.2.Определение доверительных границ при законе распределения Вейбулла

 

Доверительные границы рассеивания одиночного значения показателя надежности при ЗРВ определяют по уравнениям:

, (9.9)

, (9.10)

где - квантиль закона распределения Вейбулла, определяется по
таблице 7;

а – параметр закона Вейбулла;

С – смещение начала рассеивания

Доверительный интервал:

, (9.11)

Для рассматриваемого примера при доверительной вероятности =95 и

Определение доверительных границ рассеивания среднего значения показателя надежности при ЗРВ

, (9.12)

, (9.13)

Где и - коэффициенты распределения Вейбулла (таблица 12);
- параметр закона распределения Вэйбулла.

Доверительный интервал:

. (9.14)

Рассчитаем значения при и :

10. Определение абсолютной и относительной предельных ошибок переноса опытных характеристик показателя надёжности

 

Наибольшая абсолютная ошибка переноса опытных характеристик показателя надежности при заданной доверительной вероятности равна по значению в обе стороны от среднего значения показателя надежности.

Относительная предельная ошибка, %

, (10.1)

 

Список литературы

 

1. Кононенко, А.С. «Методика обработки отказов автотракторных двигателей: методические рекомендации» / А.В. Чепурин, А.С. Кононенко, А.М. Орлов, С.Л. Кушнарев. – М.: УМЦ «ТРИАДА», 2010. – 42 с.

2. Кононенко, А.С. Надежность технических систем. Расчетные уравнения и таблицы: методические рекомендации [Текст] / А.С. Кононенко, А.В. Чепурин, А.М. Орлов, С.Л. Кушнарев. – М.: ФГОУ ВПО МГАУ, 2010. – 26 с.