Сравнение бесконечно малых

Определение. Функция называется бесконечно малой при или , если или .

Например, бесконечно малая при ; - бесконечно малая при .

Функция называется бесконечно большой величиной при или , если для нее выполняются условия или .

Например, при ; при .

Пусть и - бесконечно малые при .

 

1. Если , то является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с , .

 

2. Если , где m – число, отличное от нуля, то и - бесконечно малые одного порядка. В частности, если , то и - эквивалентные бесконечно малые, ~ .

 

3. Бесконечно малая называется бесконечно малой k- го порядка относительно бесконечно малой ,если и - бесконечно малые одного порядка, т. е. если =А 0.

 

 

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

1) ~ , →0;

2) ~ , →0;

3) ~ , →0;

4) ~ , →0;

5) ~ , → 0;

6) ~ , →0;

7) ~ α , →0;

8) ~ , →0;

9) ~ , →0.

 

Пример 1. Найти

= =

 

Пример 2. Найти

Так как х → 0, то 3 → 0, (- 2 ) → 0, поэтому

 

Пример 3. Найти

Воспользуемся теоремами:

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин эквивалентна сумме части слагаемых, имеющих низший порядок малости.

2) Предел частного двух бесконечно малых величин равен пределу частного двух соответственно эквивалентных бесконечно малых величин.

1 - cos ~ ; ln(l + З ) ~З ; sin² ~ ²; -1 ~ tg ² ~ ²

.

 

Пример 4. Сравнить бесконечно малые величины =sin² и = 2 sin при →0,

Таким образом, α=0(β), α является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с β.

 

Пример 5. Сравнить и при

.

Существует конкретное число k, когда

при k=2, , , следовательно, - бесконечно малая величина второго порядка по сравнению с .

 

Пример 6. Доказать, что при →1 бесконечно малые величины α() = (1- ) и β()=1- будут одного порядка малости.

α() и β() будут одного порядка малости, если тогда тогда

Следовательно, α() и β() одного порядка малости.

 

Пример 7. Сравнить бесконечно малые величины и при →0.

 

, т. к. при →0 ;

 

;

.

Таким образом, , следовательно, α() и β() – эквивалентны.

 

Пример 8. Сравнить бесконечно малую величину с бесконечно малой ()= при →0.

Тогда,

 

Таким образом, α=0(β), α является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с β.

 

 

Задания для самостоятельной работы.

Вычислить пределы, пользуясь эквивалентными бесконечно малыми величинами:

1) 2)

3)

4)

5)

Сравнить бесконечно малые величины при →0:

6) sin +tg2 и 3 ; 7) tg2 +3 ² и + ²;

8) ln(l + ²) и arcsin (); 9) -1 и хlna;

 

10) Сравнить и при ;

11) При каких х функции будут бесконечно малыми?

a) ; б) ; в) ; г) ;

12) При каких х функции будут бесконечно большими?

a) ; б) ;

в) ; г) .