Непрерывность функций. Точки разрывa.

Функция называется непрерывной в точке а, если

1) эта функция определена в некоторой окрестности точки а;

2) существует предел ;

3) этот предел равен значению функции в точке а, т.е. .

Обозначая - а =Δx и f(x)- f(a) =Δy, условие непрерывности можно записать так: Δy = 0.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она непрерывна в этой области.

Точка а, принадлежащая области определения функции или являющаяся граничной для этой области, называется точкой разрыва, если в этой точке нарушается условие непрерывности функции.

Если существуют конечные пределы и , причем не все три числа f(a), f(a - 0), f(a + 0), равны между собой, то а называется точкой разрыва I рода.

 

Точки разрыва I рода подразделяются на точки устранимого разрыва (когда f(a-0) = f(a + 0)≠ f (a)) и точки скачка (когда f(a - 0) ≠ f(a + 0)), f(a + 0)-f(a-0)) - скачок функции в точке а. Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода. В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов.

 

Пример 1. Доказать, что функция = З -4 непрерывна в точке =2.

Область определения нашей функции D(f) = (- ;+ ), следовательно функция определена в точке x₀ и в окрестности точки .

f(2) = 2,

Условие выполнено, следовательно, данная функция непрерывна в точке =2.

 

Пример 2. Доказать, что функция = 7 ² -3 непрерывна на интервале (- ;+ ).

Для доказательства непрерывности функции на (- ;+ ) надо доказать непрерывность ее в произвольной точке х (- ;+ ), надо доказать Δy = 0.

Область определения нашей функции - вся числовая ось.

Δ f = f (x + Δ х)- f (x) = (7( + Δ )² -3)-(7 ² - 3) = 7 х ² + 14 х Δ х +

+ 7 Δ ² - 3 - 7 х ² + 3 = 14 Δ + 7Δ ² = 7Δ (2 + Δ х)

Δy = 7Δ (2 + Δ х) = 0

Следовательно, f (x)=7 x ²-3 непрерывна в любой точке интервала и тогда непрерывна на всем интервале.

 

Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию

 

y

x

Рис. 7

Всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения. Данная функция задается различными формулами на разных участках, следовательно, не является элементарной.

Однако, если разбить область определения D(f)= на отдельные интервалы D₁(f) = ;.D₂(f) = ; D ₃(f)= ,то на каждом из этих интервалов функция f(x) окажется элементарной и, следовательно, непрерывной.

Таким образом, осталось исследовать граничные точки.

 

1) x₁ =0, f(x₁)= f(x₂)=0

Таким образом, в точке х₁, функция непрерывна.

 

2) _{= 1}

Пределы слева и справа в точке ₂ не равны между собой, таким образом, точка ₂ - точка разрыва 1 рода.

=5-2=3- скачок функции в точке ₂.

 

Пример 4. Найти и классифицировать точки разрыва функции y=

В точках =1 и =5 функция не определена.

1) = 1

2) =5

Обе точки =1 и =5 - точки разрыва II рода.

Пример 5. Показать, что при х=3 функция у = имеет устранимый разрыв.

В точке, =3 функция не определена. В других точках дробь можно сократить на -3≠0, следовательно, у = х + 3 во всех точках х≠З,

Функция в точке =3 имеет устраняемый разрыв.

Он будет устранен, если условиться, что при =3 значение функции равно 6.

 

Задания для самостоятельной работы.

1) Исследовать на непрерывность f(x)= точке ₀=2;

 

2) Доказать непрерывность функции f(x) = + ln(l + х) в области (-1;+оо);

 

3) Исследовать на непрерывность функцию:

4) Исследовать характер точки разрыва функции

;

5)Найти точки разрыва: а) б) .

Список литературы

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления – М.: “ Интеграл-пресс ”,1997-416с.

2.Данко П.Е. и др. Высшая математика в задачах и упражнениях. Ч.1./ П.Е. Данко и др. – М.: Высшая школа, 1986 – 306 с.

 

 

 

Учебное издание