Точки локального экстремума.

Достаточные признаки монотонности функции.

Если f ’(x) > 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастает на этом интервале.

Если f ’(x) < 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) убывает на этом интервале.

Точки локального экстремума.

. Число М называется локальным максимумом функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из нее выполняется неравенство . При этом М= , а сама точка называется точкой локального максимума.

Определение 2. Число m называется локальным минимумом функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из нее выполняется неравенство . При этом m= , а сама точка называется точкой локального минимума.

Определение 3. Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами. Соответствующая точка называется точкой локального экстремума.

Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума.

Пусть х ₀ – точка экстремума (максимума или минимума) функции у = f (x). Тогда в этой точке производная равна нулю или не существует.

Пусть равны нулю (i = 1, 2, …, n), либо хотя бы одна из них не существует.

Пусть -- критическая точка функции . Если функция не убывает в некоторой левой окрестности точки и не возрастает в некоторой её правой окрестности , то точка -- точка локального максимума.

Достаточные условия.

Если же функция не возрастает в некоторой левой окрестности и не убывает в некоторой правой окрестности , то точка -- точка локального минимума.

Доказательство. Если не убывает в , то при всех , поскольку из непрерывности . Точно так же, при всех . Выберем из чисел и наименьшее: и рассмотрим симметричную окрестность . При , очевидно, , то есть -- точка локального максимума.

Вторая половина утверждения теоремы сводится к первой, если положить и заметить, что функция не убывает в и не возрастает в ; локальный максимум функции соответствует локальному минимуму функции .

Нахождение интервалов монотонности. Найти интервалы монотонности функции f (x) (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной f (x). Для этого находят производную f (x) и решают неравенство f (x) 0. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f (x) возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f (x) 0, функция f (x) убывает.

Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическимиточками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.

Наибольшее (наименьшее) значение функции на промежутке называется глобальным

экстремумом. Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

График функции y = f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y = f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Достаточный признак выпуклости функции на интервале.

Пусть y = f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f ''(x) > 0 – вогнутый.