Нахождение интервалов выпуклости функции.

Точка называется точкой перегиба графика функции y = f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.

Если функция y = f(x) имеет конечную вторую производную на интервале Х и если выполняется неравенство (), то график функции имеет выпуклость направленную вниз (вверх) на Х.

Необходимое и достаточные условия перегиба.
Пусть график функции y = f(x) имеет перегиб в точке и имеет при непрерывную вторую производную, тогда выполняется равенство .

Пусть функция y = f(x) непрерывна в точке , имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от , вторая производная имеет разные знаки, то является точкой перегиба графика функции.

Если , а , тогда является абсциссой точки перегиба графика функции y = f(x).

Пусть , а , тогда если n – четное число, то является абсциссой точки перегиба графика функции y = f(x).

Асимптоты графика функции.

Если расстояние от точки M кривой y = f(x) от некоторой прямой y = kx + b стремиться к нулю, когда точка M, двигаясь по кривой, удаляется в бесконечность, то прямая y = kx + b называется асимптотой кривой y = f(x).
Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными.

Если и (или) , то прямая y = x₀ является вертикальной асимптотой

Полное исследование функции:

1. Область определения

2. Точки разрыва и вертикальные асимптоты.

3. Чётность, нечётность, периодичность.

4. Т. Пересечения с осями координат.

5. Исследование по первой производной.интервалы убывания или возрастания,т. Экстремума.

6. Исследование по второй производной, выпуклости вогнутости,точки перегиба.

7. Наклонные и горизонтальные асимптоты.