Формула полной вероятности

Р(А) - вероятность события;

Р(H_i) - вероятность гипотез;

Р(А/H_i) - вероятность события при соответствующей гипотезе.

 

П р и м е р: имеются три одинаковых корзины. В первой корзине - 2 белых и 1 черный шар, во второй - 3 белых и 1 черный шар; в третьей - 2 белых и 2 черных шара. Какова вероятность из наугад выбранной корзины извлечь белый шар.

Р е ш е н и е: рассмотрим 3 гипотезы - Н_{1 -} выбрали первую корзину; Н₂ - выбрали вторую корзину; Н₃ - выбрали третью корзину.Если корзиныодинаковы, то Р(H₁) =Р(H₂) =Р(H₃) = 1/3.

Условные вероятности события А при этих гипотезах:

Р(А/H₁) = 2/3; Р(А/H₂) = 3/4; Р(А/H₃)= 1/2.

Вероятность события А рассчитаем по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р (Н₁) ´Р(А/Н₁)+Р (Н₂)´Р (А/Н₂)+Р(Н₃)´Р (А/Н₃) = 1/3 ´ 2/3 +1/3´ 3/4 + 1/3 ´ 1/2 = 0,639.

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ АЛГОРИТМЫ В ДИАГНОСТИКЕ. ТЕОРЕМА БАЙЕСА.

(Ливенцев Н.М., стр. 308)

 

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.

Задача диагностики заключается в том, чтобы на основании симптомокомплекса, установленного у больного, и данных диагностической таблицы определить вероятности каждой из имеющихся в таблице болезней. Это можно сделать на основании теоремы об умножении вероятности с использованием формулы Байеса:

Р(H_i/А) - вероятность гипотезы при данном симптомокомплексе;

Р(H_i) - вероятность гипотезы;

Р(А/H_i) - вероятность симптомокомплекса при данном заболевании.

Диагностическая таблица (упрощенный вариант).

	Р (S1/Hi )	Р (S2/Hi )	Р (S3/Hi )
Р(H1) = 0.4	0.1	0.4	0.3
Р(H2) = 0.5	0.2	0.1	0.9
Р(H3) = 0.1	0.4	0.9	0.7

Р(S₁/H_i ) - вероятность первого симптома при разных заболеваниях;

Р(S₂/H_i ) - вероятность второго симптома при разных заболеваниях;

Р(S₃/H_i ) - вероятность третьего симптома при разных заболеваниях.

Если в наличии все три симптома (симптомокомплекс), то:

Р(А/H₁)=Р(S₁/H₁ )´Р(S₂/H₁ )´Р (S₃/H₁ )= 0.1´0.4´ 0.3 = 0.012

Р(А/H₂)=Р(S₁/H₂ )´Р(S₂/H₂ )´Р(S₃/H₂ )= 0.2´0.1´0.9 = 0.018

Р(А/H₃)=Р(S₁/H₃ )´Р(S₂/H₃ )´Р(S₃/H₃ ) = 0.4´0.9´0.7 = 0.252

Вероятность первого заболевания при данном симптомокомплексе:

 

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

(А.Н.Ремизов, 1987,стр.31-32, А.Н.Ремизов, 1999,стр.24-25).

Случайной называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. Различают д и с к р е т н ы е и н е п р е р ы в н ы е случайные величины.

 

Дискретной называют величину, если она принимает счетное множество значений.

(Пример: число пациентов на приеме у врача, число букв на странице, число молекул в заданном объме).

 

Непрерывной называют величину, которая может принимать значения внутри некоторого интервала.

(П р и м е р: температура воздуха, масса тела, рост человека и т.д.)

Законом распределения случайной величины является совокупность возможных значений этой величины и, соответствующих этим значениям, вероятностей (или частот встречаемости).

 

П р и м е р:

 

x	x1	x2	x3	x4	...	xn
p	р1	р2	р3	р4	...	pn
m	m1	m2	m3	m4	...	mn

 

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

(А.Н.Ремизов, 1987, стр.34-37, А.Н.Ремизов, 1999, стр.27-30, Н.Л.Лобоцкая,1978, стр. 353).

 

Во многих случаях наряду с распределение случайной величины или вместо него информацию об этих величинах могут дать числовые параметры, получившие название числовых характеристик случайной величины. Наиболее употребительные из них:

 

1. Математическое ожидание - (среднее значение) случайной величины есть сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений:

М(Х) = x₁ ´; р₁ + x₂ ´; р₂ + x₃ ´; р₃ + ¼ + x_n ´; р_n = å x_i ´; р_i

2. Дисперсия случайной величины:

D(X)= å(M(X) - x_i)² ´; р_i

3. Среднее квадратическое отклонение:

s = Ö D(X)

Правило “ТРЕХ СИГМ” - если случайная величина распределена по нормальному закону, то отклонение этой величины от среднего значения по абсолютной величине не превосходит утроенного среднего квадратического отклоненияM(X)±3s

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

(А.Н.Ремизов, 1987,стр.37-40, Н.Л.Лобоцкая,1978, стр. 348).

 

Наиболее часто встречаются величины, распределенные по нормальному закону (закон Гаусса). Г л а в н а я о с о б е н н о с т ь - он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.

Случайная величина распределена по нормальному закону, если плотность вероятности ее имеет вид:

где

M(X) - математическое ожидание случайной величины;

s - среднее квадратическое отклонение.

 

График плотности вероятности нормально распределённой величины

 

 

Плотность вероятности (функция распределения) показывает, как меняется вероятность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, в зависимости от значения самой величины:

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

(А.Н.Ремизов, 1987,стр.44-48, А.Н.Ремизов, 1999,стр.37-42, Н.Л.Лобоцкая,1978, стр. 363-371).

 

Математическая статистика - раздел прикладной математики, непосредственно примыкающий к теории вероятностей. Основное отличие математической статистики от теории вероятностей состоит в том, что в математической статистике рассматриваются не действия над законами распределения и числовыми характеристиками случайных величин, а приближенные методы отыскания этих законов и числовых характеристик по результатам экспериментов.

Основными понятиями математической статистики являются:

 

1. Генеральная совокупность;

2. выборка;

3. вариационный ряд;

4. полигон частот;

5. гистограмма.

Генеральная совокупность - большая статистическая совокупность, из которой отбирается часть объектов для исследования

(П р и м е р: все население области, студенты вузов данного города и т.д.)

Выборка (выборочная совокупность) - множество объектов, отобранных из генеральной совокупности.

Вариационный ряд - статистическое распределение, состоящее из вариант (значений случайной величины) и соответствующих им частот.

П р и м е р:

X,кг

m

x - значение случайной величины (масса девочек в возрасте 10 лет);

m - частота встречаемости.

Используют дискретное (точечное) статистическое распределение и непрерывное (интервальное) статистическое распределение.

Для наглядности статистические распределения изображают графически в виде полигона частот или - гистограммы.

Полигон частот - ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₁,m₁), (x₂,m₂),..., или для полигона относительных частот – с координатами (x₁,р^*₁), (x₂,р^*₂),...(Рис.1).

m m_i/n f(x)

 

 

x x

Рис.1 Рис.2

Гистограмма частот - совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой линии (Рис.2), основания прямоугольников одинаковы и равны dx, а высоты равны отношению частоты к dx, или р^* к dx (плотность вероятности).

П р и м е р:

х, кг	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	4,0	4,1	4,2	4,3	4,4
m