Параллелограмм. авата́ра (санскр. «нисхождение, сошествие») – в индуизме воплощение бога в новом теле (напр., бога Вишну в облике героев Кришны

Параллелограмм

Параллелограмм называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

На рисунке изображен параллелограмм ABCD: AB CD, AD BC. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

Рассмотрим свойства параллелограмма.

1) В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Диагональ AC разделяет его на два треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (так как BD - общая сторона, углы 1=2 и углы 3=4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD, AD и BC соответственно). Следует, что AB=DC, BC=AD, углы B=D, что и требовалось доказать.

2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Пусть O – точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, углы 1=2 и 3=4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими AC и BD соответственно). Следует, что AO=OC, BO=OC, что и требовалось доказать.

Рассмотрим признаки параллелограмма.

1) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Пусть в четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны и AB=CD. Проведем диагональ AC, разделяющую данный четырехугольник на два треугольника: ABC и CDA. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (AC - общая сторона, AB=CD по условию, углы 1=2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AC), поэтому углы 3=4. Но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении прямых AD и BC секущей AC, следовательно, AD BC.

Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, а значит, четырехугольник ABCD - параллелограмм.

2) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Проведем диагональ AC данного четырехугольника ABCD, разделяющую его на треугольники ABC и CDA. Эти треугольники равны по трём сторонам (AC - общая сторона, AB=CD и DC=DA по условию), поэтому углы 1=2. Следует, что AB CD. Так как AB=CD и AB CD, то по признаку 1 четырехугольник ABCD - параллелограмм.

3) Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Треугольники AOB и COD равны по первому признаку равенства треугольников (AO=OC, BO=OD по условию, углы AOB=COD как вертикальные углы), поэтому AB=CD и углы 1=2. Из равенства углов 1 и2 следует, что AB CD. Итак, в четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны и параллельны, значит, по признаку 1 четырехугольник ABCD - параллелограмм.