ВВП на душу населения для стран Северной Америки

год	период t	наблюдаемое значение	значение тенденции	случайная компонента
		Yt	Y(t)	εt
		23222,71	21864,8	1357,91
		24002,6	23219,6	783,00
		24750,88	24574,4	176,48
		25862,75	25929,2	-66,45
		26821,5		-462,50
		27973,19	28638,8	-665,61
		29391,44	29993,6	-602,16
		30574,79	31348,4	-773,61
		32188,47	32703,2	-514,73
		33953,34		-104,66
		34648,98	35412,8	-763,82
		35507,91	36767,6	-1259,69
		37158,53	38122,4	-963,87
		39384,26	39477,2	-92,94
		41790,95		958,95
		44101,67	42186,8	1914,87
		46052,41	43541,6	2510,81
		46605,08	44896,4	1708,68
		44754,39	46251,2	-1496,81
		46580,26		-1025,74
		48342,72	48960,8	-618,08

Таким образом, мы нашли тенденцию показателя ВВП на душу населения для Северной Америки за период с 1991 по 2011 год и случайную компоненту.

Для более удобного восприятия данных, случайная компонента показателя ВВП на душу населения приведена на рисунке 5.

Рисунок 5 - Значения случайной компоненты для показателя

ВВП на душу населения по периоду t

 

После выявления случайной компоненты показателя ВВП на душу населения необходимо функционально описать возникшую тенденцию в случайной компоненте.

5. Выявление и измерение периодических колебаний в ряде динамики ВВП на душу населения.

В рядах динамики могут содержаться заметные периодические колебания вокруг общей тенденции, для выявления которых следует применить гармонический анализ Фурье для показателя ВВП на душу населения в период с 1991 по 2011 год.

Задачей гармонического анализа является определение основных гармоник, содержащих основные закономерности развития исследуемого явления.

Мы имеем ряд из 21 наблюдений (см. табл. 7). Воспользуемся программой Statisticа, чтобы получить неизвестные коэффициенты Ak, Bk, Tk. Результаты представлены в таблице 8.

Таблица 8 - Значения коэффициентов A_k, B_k, T_k функции Фурье

Частота	Период	Косинус	Синус	Периодограмма	Плотн.	Хемминг
0,000000		54,863	0,000			0,035714
0,045455	22,00000	581,585	-400,678			0,241071
0,090909	11,00000	-584,255	-19,412			0,446429
0,136364	7,33333	-648,768	718,674			0,241071
0,181818	5,50000	117,320	451,093			0,035714
0,227273	4,40000	46,692	162,727
0,272727	3,66667	258,370	-2,037
0,318182	3,14286	96,353	-196,934
0,363636	2,75000	147,860	-215,841
0,409091	2,44444	26,259	-147,394
0,454545	2,20000	10,907	-87,368
0,500000	2,00000	-22,001	0,000

Для наглядности представления данных необходимо построить значения коэффициенты Ak, Bk в зависимости от значения периода. Они представлены на рисунках 6 и 7.

Рисунок 6 - Значения коэффициентов при косинусе (Ак) при соответствующей частоте

Рисунок 7 - Значения коэффициентов синуса (В_к) при соответствующей частоте

 

Определение периодичности колебаний показателя ВВП на душу населения для Северной Америки.

Чтобы найти периоды основных колебаний, необходимо найти максимумы периодограмм. Найденным максимумам будут соответствовать самые важные с точки зрения периодичности колебаний периоды.

Для наглядности выявления максимумов можно построить зависимости периодограмм от частот. Результаты данной работы представлены на рисунке 9. Также самые важные с точки зрения периодичности периоды, коэффициенты при косинусах и синусах выделены курсивом и жирным цветом в таблице 8.

Рисунок 8 - Значения периодограмм в зависимости от частоты

 

Из рисунка 8 видны максимумы периодограмм на следующем периоде колебаний, равном 11 годам.

Таким образом, можно выделить гармонику, наиболее точно описывающую периодичность колебаний ВВП на душу населения:

 

где y – ВВП на душу населения за год;

t- время (годы).

Таким образом, можно сказать, что динамика показателя ВВП на душу населения для стран Северной Америки на протяжении с 1991 года по 2011 повторялась один раз в 7,3 лет.