Формула Коши-Адамара.

Используя радикальный признак Коши и рассуждая аналогичным образом, получим, что можно задать область сходимости степенного ряда как множество решений неравенства при условии существования этого предела, и, соответственно, найти еще одну формулу для радиуса сходимости:

(4)

Теорема 2 (2-я теорема Абеля). Если R – радиус сходимости ряда и этот ряд сходится при , то он равномерно сходится на отрезке .

Пример 1. Найти область абсолютной и равномерной сходимости ряда .

Решение:

В этом случае для решения задачи удобно использовать радикальный признак Коши , тогда

или , раскрывая неравенство, получим или .

Исследуем поведение ряда на концах полученного интервала:

а) : – знакочередующийся ряд, для которого не выполняется необходимый признак сходимости, т.е. ряд расходится;

б) : – ряд расходится, т.к. для него не выполняется необходимый признак сходимости . Таким образом, для ряда область абсолютной сходимости: . Область равномерной сходимости

Пример 2. Найти радиус сходимости и область абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда .

Решение. Найдем радиус сходимости данного ряда этого можно применить признак Даламбера в предельной форме: , тогда радиус сходимости .

Радиус сходимости – половина интервала сходимости, поэтому интервал сходимости: .

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

а) при : . Ряд, составленный из модулей членов этого ряда, сходится (как гипергармонический ряд с ), следовательно, ряд

сходится абсолютно;

б) при получим ряд , ряд сходящийся. Значит, оба конца интервала сходимости и входят в область абсолютной и равномерной сходимости: .

Пример 3. Найти радиус сходимости и интервал сходимости ряда .

Решение. Для отыскания радиуса сходимости данного степенного ряда удобно воспользоваться радикальным признаком Коши в предельной форме:

,

тогда радиус сходимости .

Интервал сходимости: .

Исследуем поведение ряда в концевых точках интервала сходимости:

а) при : это знакочередующийся числовой ряд. Этот ряд расходится, т.к. для него не выполняется признак Лейбница:

;

б) при получим ряд . Этот ряд тоже расходится, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости:
. Следовательно, в предельных точках интервала и данный ряд расходится, область сходимости этого ряда: .

Пример 4. Найти радиус и область абсолютной и равномерной сходимости ряда .

Решение. Найдем радиус сходимости:

, , .

Центром ряда является точка , Интервал сходимости (рис.1).

Поведение ряда в концевых точках интервала сходимости: при : – знакочередующийся числовой ряд, сходится абсолютно; при : – сходится.

Итак, данный степенной ряд сходится абсолютно и равномерно для .

Пример 5. Найти область абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда .

Решение. Здесь , . Найдем радиус R сходимости ряда . Следовательно, область абсолютной сходимости ряда , область равномерной сходимости- любая ограниченная область.

Пример 6. Исследовать на сходимость степенной ряд .

Решение. Здесь и . Найдем радиус R сходимости ряда . Следовательно, область сходимости ряда состоит из одной точки .