Основным свойством всех волн является перенос энергии без

переноса вещества.

35. Упругие волны.

Упругими (или механическими) волнами называются механические

возмущения, распространяющиеся в упругой среде.

Продольная волна — волна, в которой частицы среды колеблются в

направлении распространения волны.

Поперечная волна — волна, в которой частицы среды колеблются в

плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения (в твердых, жидких и газообразных телах).

Поперечные волны могут распространяться только в среде, в которой

возникают упругие силы при деформации сдвига (только в твердых телах).

 

36. Упругая гармоническая волна.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей

колебания частиц среды являются гармоническими.

Пусть гармоническая волна распространяется со скоростью вдоль

оси OX. Обозначим смещения частиц среды через

Для данного момента времени t зависимость между смещением частиц

среды и расстоянием x этих частиц от источника колебаний O можно

представить в виде графика волны.

Отличие графика волны от графика гармонического колебания:

1) график волны представляет зависимость

смещения всех частиц среды от расстояния

до источника колебаний в данный момент

времени ;

2) график гармонического колебания это

зависимость смещения данной частицы от

времени .

Длиной волны называется расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе. Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется гармоническая волна за время, равное периоду

колебаний T:

или

где n — частота колебаний, — скорость распространения волны.

Волновым фронтом называется геометрическое место точек, до

которых доходят колебания к определенному моменту времени t.

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек,

колеблющихся в одинаковой фазе.

Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а

волновой фронт в каждый момент времени — один.

37. Бегущие волны.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в

пространстве энергию.

Перенос энергии количественно характеризуется вектором плотности потока энергии (вектор Умова). Направление этого вектора совпадает с направлением распространения энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно волне.

Важными примерами бегущих волн являются плоская и сферическая

волны.

Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу.

Волна называется сферической, если ее волновые поверхности имеют

вид концентрических сфер. Центры этих сфер называются центром волны.

 

38. Уравнение плоской волны.

Пусть точки, которые расположены в плоскости x= 0, колеблются по

закону . И пусть — скорость распространения колебаний в данной среде.

Колебания частицы B среды (см. рисунок), расположенной на расстоянии x от источника колебаний O, будут происходить по тому же закону. Но, поскольку для прохождения волной расстояния x требуется время то ее колебания будут отставать по времени от колебания источника на

Уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости x, имеет вид

Следовательно, функция является не только периодической

функцией времени, но и периодической функцией координаты x.

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль

положительного направления оси x в среде, не поглощающей энергию, имеет

вид

здесь: — амплитуда волны,

— циклическая частота,

— начальная фаза волны,

— фаза плоской волны.

Если определить волновое число:

то уравнение плоской бегущей волны можно записать в виде

или в экспоненциальной форме

где физический смысл имеет только вещественная часть.

В общем виде уравнение плоской волны, распространяющейся в

направлении имеет вид:

39. Фазовая скорость.

Скорость в этих уравнениях есть скорость распространения фазы волны и ее называют фазовой скоростью.

Действительно, пусть в волновом процессе фаза постоянна:

откуда

40. Уравнение сферической волны.

где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.

Амплитуда колебаний в сферической волне убывает с расстоянием по

закон

41. Волновое уравнение.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением— дифференциальным уравнением в частных производных:

 

или

 

где — фазовая скорость,

оператор Лапласа.

Решением волнового уравнения является уравнение любой волны (в том числе и плоская и сферическая волны).

Волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х:

 

42. Принцип суперпозиции.

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, то к этим волнам применим принцип суперпозиций (наложения) волн:

при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвующие в каждом из слагающих волновых процессов.

43. Групповая скорость.

Любое сложное колебание может быть представлено в виде суммы одновременно совершающихся гармонических колебаний (разложение Фурье).

Поэтому любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, то есть в виде волнового пакета или группы волн.

Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

За скорость распространения волнового пакета принимают скорость перемещения максимума его амплитуды (центра волнового пакета).

Групповой скоростью и называется скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет (или скорость движения центра волнового пакета).

Ее величина

Связь групповой и фазовой скоростей:

44. Интерференция волн.

Когерентностью называется согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов.

Две волны называются когерентными,если разность их фаз не зависит от времени.

Гармонические волны, имеющие одинаковую частоту, когерентны всегда.

Интерференцией волн называется явление наложения волн, при котором происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками, колеблющимися с одинаковыми амплитудой А₀, частотой и постоянной разностью фаз:

где и г₂ — расстояния от источников до рассматриваемой точки, k - волновое число, — начальные фазы волн.

Амплитуда результирующей волны

Поскольку для когерентных источников , то результат интерференции двух волн зависит от величины (), разностью хода.

Интерференционный максимум наблюдается в точках,

где (m= 0,1, 2,...).

Числа (m = 0,1,2,...) называются порядком интерференционного максимума.

Интерференционный минимум наблюдается в точках, где (m=0, 1, 2,…).

Числа (т = 0,1,2,...) называются порядком интерференционного минимума.

44. Стоячие волны.

Особым случаем интерференции являются стоячие волны.

Стоячие волны— это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Пусть две плоские бегущие волны с одинаковыми амплитудами и частотами распространяются навстречу друг другу вдоль оси х:

Сложив эти уравнения, с учетом и , получим уравнение стоячей волны:

В точках среды, где

(т = 0,1,2,...)

амплитуда стоячей волны достигает максимального значения А_СТ = 2А.

Такие точки называются пучностями стоячей волны.

Координаты пучностей:

(m= 0,1,...)

В точках среды, где

(т = 0,1,2,...), амплитуда стоячей обращается в

нуль = 0. Такие точки называются узлами стоячей воды.

Координаты узлов:

Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны Я бегущих волн. Эту

величину называют длиной стоячей волны.

 

В бегущей волне	В стоячей волне
Амплитуда колебаний
Все точки волны совершают колебания с одинаковой амплитудой	Все точки между двумя узлами колеблются с разными амплитудами
Фаза колебаний
Фаза колебаний зависит от координаты х рассматриваемой точки	Все точки между двумя узлами колеблются с одинаковыми амплитудами
	При переходе через узел фаза колебаний изменяется на ; Точки лежащие по разные стороны от узла колеблются в противофазе
Перенос энергии
Энергия колебательного движения переносится в направлении распространения бегущей волны	Переноса энергии нет, лишь в пределах происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн.

Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то на границе сред образуется пучность.

Если среда, от которой происходит отражение, более плотная, то на границе сред образуется узел стоячей волны.

46. Эффект Доплера.

Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. В акустике эффект Доплера проявляется как повышение тона при приближении источника звука к приемнику и понижения тона звука при удалении источника от приемника.

Пусть источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой; и -скорости источника и приемника (положительны при сближении и отрицательны при удалении источника и приемника); n₀ — частота колебаний источника; v— скорость распространения звука в данной среде.

1) Источник и приемник покоятся относительно среды:

Длина волны .Распространяясь в среде, волна достигнет

приемника и вызовет его колебания с частотой:

2) Приемник приближается к источнику, а источник покоится:

Скорость распространения волны относительно приемника

станет равной , при этом длина волны не меняется, следовательно

 

Частота колебаний, воспринимаемых приемником увеличится.

3) Источник приближается к приемнику, а приемник покоится:

.

Скорость распространения

колебаний vзависит только от свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние υT = λ;. Источник же пройдет расстояние T. Поэтому к моменту окончания излучения волны длина волны в направлении движения сократится и станет Частота колебаний которые воспринимает

приемник, увеличится:

4) Источник и приемник движутся друг относительно друга.

Этот случай обобщает два предыдущих. Частота колебаний, воспринимаемых приемником:

Верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления.

Если направления скоростей не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, то вместо этих скоростей в формуле надо брать их проекцию на направление этой прямой.

 

 

Электромагнитные волны

47. Электромагнитные волны.

Электромагнитные волны — это переменное электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве с конечной скоростью.

Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла: ;

которые в области пространства, не содержащей свободных электрических зарядов и макроскопических токов, имеют вид

;

Если среда — однородный и изотропный диэлектрик, не обладающий

сегнетоэлектрическими или ферромагнитными свойствами, то и , где — электрическая и магнитная постоянные, — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

В этом случае уравнения Максвелла

Используя получим волновые уравнения для векторов и :

;

где — оператор Лапласа,

фазовая скорость электромагнитной волны, — скорость света в вакууме. Таким образом, электромагнитные поля действительно могут существовать в виде электромагнитных волн.

Поскольку > 1, то < с — скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.

48. Поперечность электромагнитных волн.

Следствия теории Максвелла:

(1) Векторы и напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору скорости распространения волны, причем векторы , и образуют правовинтовую систему. (Только Ey 0)

(2) В электромагнитной волне векторы и всегда колеблются в одинаковых фазах, причем мгновенные значения в любой точке связаны соотношением

Волновым уравнениям:

,

удовлетворяют плоские монохроматические электромагнитные волны, описываемые уравнениями , ,

где и H₀ — амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны, — круговая частота волны, — волновое число, — начальная фаза колебаний (одинаковая, поскольку колебания Е и Н происходят с одинаковой фазой).

49. Отражение и преломление электромагнитных волн на границе разделадвух диэлектрических сред.

Пусть на границу раздела двух диэлектриков падает плоская электромагнитная волна. В таком случае, как показывает опыт, от границы раздела диэлектриков будут распространяться две плоские волны — отраженная и преломленная.

Запишем выражения для падающей (/), отраженной (г) и преломлен­ной (d)волн в комплексной экспоненциальной форме:

, ;

, ;

, ;

Здесь — радиус-вектор, и — частота и скорости волн, — амплитуды волн, — единичные векторы, показывающие направление распространения соответствующих волн. Условие = const определяет плоскость, перпендикулярную к , поэтому данная система выражений описывает плоские волны, распространяющиеся вдоль векторов _i, _r, _d.

Граничные условия для тангенциальных () компонент векторов напряженности электрического и магнитного поля в любой точке границы раздела сред (1) и (2) имеют вид: ,

Для нашего случая, граничные условия для электрического вектора:

Для выполнения этого равенства в любой момент времени tв любой точке границы раздела необходимо и достаточно, чтобы во всех трех показателях экспонент были одинаковы коэффициенты при t и при проекции радиус-вектора г на границу раздела, т.е. чтобы выполнялись равенства:

;

Следовательно, частоты всех трех волн должны быть равны между собой, поскольку частоты колебаний зарядов в диэлектрической среде, вынуждаемых колебаниями электрического вектора, совпадают с частотой вынуждающей силы. Кроме того, единичные векторы s_i,s_r,s_dнаходятся в одной плоскости, проходящей через нормаль к плоскости раздела (плоскость падения).

Выберем систему координат таким образом, чтобы плоскость хОу совпадала с плоскостью раздела сред, а плоскость zOx— с плоскостью падения, причем ось Оz направим из среды I в среду II (см. рисунок). Обозначим и осью Оz (угол падения), и Оz ( – угол отражения), . В этой системе координат у-компоненты векторов равны нулю, а х-компоненты можно выразить следующим образом:

Следовательно, равенство примет вид:

Первое равенство означает, что — закон отражения в оптике.

Из второго равенства следует оптический закон преломления. Показателем преломления среды n называется величина, равная отношению скорости с электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости vв среде:

Для среды, не обладающей ферромагнитными свойствами, и практически можно считать, что

 

 

В этом случае для преломленной волны имеем закон преломления:

Разложим амплитуды электрического и магнитного векторов на компоненты , лежащие соответственно в плоскости падения и

перпендикулярные к ней. Взаимные ориентации векторов приведены на рисунках (а) и (б).

Для компонент напряженности электрического вектора, лежащих в

плоскости падения (рис. (а)), граничные условия (с учетом , ) имеют вид:

и

Решая эту систему уравнений и используя закон преломления, найдем выражения для амплитудных коэффициентов отражения и пропускания для волны, линейно-поляризованной в плоскости падения:

(*)

Для компонент напряженностей электрического вектора, перпендикуляр­ных к плоскости падения (рис. (б)), граничные условия принимают вид:

Амплитудные коэффициенты отражения и пропускания и :

 

(**)

Соотношения (*) и (**) между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн называются Формулами Френеля.

В формулах Френеля и величины положительные, a и при любых возможных углах падения и преломления также положительны, что свидетельствует о совпадении фаз преломленной и падающей волн. величины и могут быть как отрицательными, так и положительными. В первом случае фаза колебаний вектора изменяется при отражении на (фаза колебаний вектора при этом сохраняется). Во втором случае (см. рис.) отражение происходит без изменения фазы колебаний вектора (соответственно фаза колебаний вектора при отражении изменяется на ). Значения сдвига фаз колебаний вектора при отражении электромагнитных волн в зависимости от угла паления и значений показателей преломления приведены в таблице.

Сдвиг фаз между компонентами
или	< или	или	< или
и			0
и

Таким образом, при малых углах падения фаза обеих компонент электрического вектора отраженной волны противоположна фазе падающей для случая, когда , и совпадает с фазой падающей волны при . В частности это имеет место и при нормальном падении.

Явление изменения фазы волны на при отражении от среды с большим показателем преломления — "потеря полуволны"— играет значительную роль в интерференционных и дифракционных явлениях, которые рассматриваются в курсе "Оптика".

Рассмотрим теперь случай, когда выполняется условие + (и, следовательно, . Угол падения _Б, при котором отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны, называется углом Брюстера.

Из закона преломления следует, что

При этом r || = 0 и в отраженной волне присутствует только

компонента (отраженная волна линейно поляризована в плоскости, перпендикулярной плоскости падения).

50. Энергия электромагнитных волн.

Объемная плотность wэнергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей w_e и w_m электрического и магнитного полей:

 

Так как , то .

Плотность потока энергии .

Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны называется вектором Умова-Пойтинга.

Вектор S направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распро­странения волны. Скалярная величина /, равная модулю среднего значения вектора Умова-Пойтинга, называется интенсивностью волны:

Интенсивность волны численно равна энергии, переносимой волной за единицу времени сквозь единицу площади поверхности, нормальной к направлению распространения волны. Интенсивность синусоидальной волны пропорциональна квадрату ее амплитуды.

51. Излучение электрического диполя.

Процесс возбуждения электромагнитных волн какой-либо системой в окружающем пространстве называется излучением этих волн, а сама система называется излучающей системой. Поле электромагнитных волн называется полем излучения.

Простейшим излучателем электромагнитных волн является электриче­ский диполь), электрический момент которого изменяется по гармоническому закону

Примером подобного диполя может служить система, состоящая из покоящегося положительного заряда + q и отрицательного заряда - q, гармонически колеблющегося вдоль направления с частотой .

Как показывает теория, в точках пространства, отстоящих от диполя на расстояниях г, значительно превышающих длину излучаемой волны r>> (эта область пространства называется волновой зоной диполя), интенсивность излучения диполя:

где — угол между осью диполя и направле­нием излучения. Зависимость I() при фикси­рованном r называют полярной диаграммой направленности излучения диполя(индикатрисой излучения). Из этой диаграммы видно, что диполь сильнее всего излучает в направлениях, перпендикулярных его оси (). Вдоль своей оси ( =0 и ) диполь не излучает вообще. Диаграмма направленности позволяет формировать излучение с определен­ными пространственными характеристиками и используется при конструирова­нии антенн.