Решения заданий. 1. Четвертое правило: неполное деление, пропущено «планета без спутников».

1. Четвертое правило: неполное деление, пропущено «планета без спутников».

2. Второе правило: понятие «управленческий труд» подчинено понятию «умственный труд».

3. Четвертое правило: неполное деление, пропущено «число, равное 10».

4. Второе правило: понятие «число, большее 12» подчинено понятию «число, большее 10».

5. Второе правило: понятие «целое число, делящееся без остатка на 3» подчинено понятию «нечетное целое число».

6. Все четыре правила.

7. Первое правило, деление по разным основаниям.

8. Второе правило: понятие «равносторонний треугольник» подчинено понятию «равнобедренный треугольник».

9. Четвертое правило: неполное деление, пропущено: «месяц, в котором 28 или 29 дней».

10. Второе правило: понятие «физический закон» подчинено понятию «природный закон».

11. Третье правило: пропущено понятие «женщины», которое одного уровня с понятием «мужчины». Правильно: люди делятся на мужчин и женщин, которые, в свою очередь, делятся на замужних и незамужних.

Задание 8. Примеры автора: транспорт - это автомобиль или неавтомобиль; дом - каменный дом или некаменный дом; живой организм - растение или нерастение, но интереснее так: живые организмы подразделяются на одноклеточные и многоклеточные.

Задание 9. 1. Генетическое определение. 2. Генетическое. 3. Родовидовое. 4. Родовидовое.

Задание 10. 1. Правило соразмерности, широкое определение. 2. Круг в определении. 3. Отрицательное. 4. Правило соразмерности, широкое. 5. Отрицательное. 6. Круг. 7. Правило ясности, подмена афоризмом. 8. Правило ясности, неизвестное через неизвестное. 9. Круг. 10. Широкое и узкое. 11. Подмена афоризмом. 12. Узкое. 13. Узкое. 14. Широкое и узкое. 15. Широкое и узкое.

 

 

[1] Мы исходим из того, что щука − пресноводная рыба.

[2] Об ограничении см. параграф 1 настоящей главы.

[3] От греч. слова «дихотомия», переводится как деление на две части.

[4] Распределение по социальному положению проводим совершенно условно.

[5] Члены деления B, C, D, … правильнее было бы изображать точками, так как это единичные понятия, им соответствуют предметы, существующие в единственном числе: Марс, Земля и т.д. Но точки на схеме дали бы в сумме тоже точку, поэтому члены деления изображены иначе.

[6] В то время предполагалось, что между Марсом и Юпитером должна находиться еще не открытая планета.

[7] См. об этих трудностях в параграфе 1 данной главы.

[8] Остенсивные - от лат. ostendo - ‘показываю’.

Ограничение и обобщениепонятия. В первом параграфе данной главы был сформулирован закон обратного отношения содержания и объема понятий, согласно которому увеличение содержания понятия влечет переход к понятию с меньшим объемом, а уменьшение содержания понятия влечет переход к понятию с большим объемом. На использовании этого закона основаны операции ограничения и обобщения понятия.

Рассмотрим понятие «человек». Определим его содержание через признаки «разумность» и «быть млекопитающим». Сделаем содержание этого понятия богаче − добавим признак «работать инженером». В результате переходим к понятию «инженер», объем которого составит часть понятия «человек». Тем самым мы произвели операцию ограничения понятия «человек».

Добавим к содержанию понятия «инженер» сразу два признака: «быть специалистом по компьютерам», «светлые волосы». В результате переходим к понятию «светловолосый инженер по компьютерам», объем которого составит часть объема понятия «инженер». Снова совершили операцию ограничения. Теперь дадим определение этой операции.

Ограничение состоит в переходе к понятию меньшего объема за счет добавления к содержанию исходного понятия одного или нескольких признаков.

Приведем примеры ограничения, при этом будем подчеркивать признаки, добавленные к содержанию исходного понятия:

сосна ® сосна, растущая в Подмосковьена берегу речки

речной транспорт ® речной транспорт на подводных крыльях

чемпион мира ® чемпион мира по боксув среднем весе2000 года

человек ® первый человек, вышедший в открытый кос­мос

В первом примере мы провели ограничение через добавление к содержанию исходного понятия двух признаков, во втором - добавили один признак, в третьем добавили три признака, в чет­вертом примере ограничили через добавление двух признаков.

Ограничение можно совершать на основе отношения подчинения, переходя от исходного понятия к подчиненному понятию. Примеры:

дерево ® яблоня; морское судно ® подводная лодка; учащийся ® студент; часы ® электронные часы.

Обозначим исходное понятие буквой А, а результат ограничения буквой В, и выразим ограничение через круговую схему и соответствующую пару суждений.

Круговая схема и суждения ограничения:

Некоторые А есть В. Все В есть А.

Использование суждений позволяет проверять правильность выполнения операции ограничения. Возьмем в качестве исходного понятия «дерево». Допустим, что мы ограничили его, перейдя к понятию «ветка». Проверяем:

Некоторые деревья являются ветками.

Все ветки являются деревьями.

Получилась бессмыслица. Значит, ограничение проведено неверно. На деле мы подменили ограничение переходом от целого к части.

Перепишем суждения, вставив многоточия вместо понятия, которое должно быть результатом ограничения.

Некоторые деревья являются ….

Все … являются деревьями.

Будем подставлять вместо многоточий такие понятия, чтобы получались истинные суждения, например: «тополь»; «ясень»; «дерево со сломанной веткой»; «высокий дуб, в который ударила молния в июле прошлого года» и т.д. Теперь ограничение будет выполнено правильно.

Подмена ограничения переходом от целого к части является весьма частой ошибкой. Важно поэтому уметь проверять при помощи суждений правильность ограничения.

Задание 1. Пользуясь круговой схемой и суждениями операции ограниче­ния, определите, какие понятия второго списка можно рассмат­ривать как ограничение понятий первого списка. Обратите внима­ние на то, что одно и то же понятие можно ограничивать различ­ными способами.

Дерево, млекопитающее, мясное блюдо, восточная борьба, моллюск, живое существо, планета.

Улитка, Сатурн, шашлык, дуб, слон, отбивная, каратэ, пальма, Марс, кит, осьминог.

Перейдем к операции обобщения. Для этого вернемся к понятию «человек» и вычтем из его содержания признак «разумность», оставив признак «быть млекопитающим». В результате переходим к понятию «млекопитающее», в объем которого целиком войдет объем понятия «человек» как его часть. Тем самым мы произвели операцию обобщения понятия «человек».

Содержание понятия «млекопитающее» включает в себя два признака: «быть живым существом» и «иметь молочные железы». Отбросим второй признак, в результате перейдем к понятию «живое существо», в объем которого целиком войдет объем понятия «млекопитающее». Мы произвели обобщение понятия «млекопитающее». Дадим определение операции.

Обобщение состоит в переходе к понятию большего объема за счет удаления из содержания исходного понятия одного или нескольких признаков.

Приведем примеры обобщения, при этом подчеркнем признаки, удаленные из содержания исходного понятия:

инженер СеменИвановичПетров ® инженер

восточная борьба каратэ ® борьба

пернатое животное ® животное

Алла БорисовнаПугачева ® Алла

В первом примере мы провели обобщение, отбросив из содержания исходного понятия три признака, во втором отбросили два признака, в третьем примере отбросили один признак, в четвертом отбросили два признака.

Обобщение, как и ограничение, можно совершать на основе отношения подчинения, но переходя от исходного понятия к подчиняющему понятию. Примеры:

дерево ® растение; морское судно ® транспорт; учащийся ® человек; часы ® искусственное устройство.

Обозначим исходное понятие буквой А, а результат обобщения буквой В, и выразим обобщение через круговую схему и соответствующую пару суждений.

Круговая схема и суждения обобщения:

Все А есть В. Некоторые В есть А.

Использование суждений обобщения позволяет проверять правильность выполнения операции. Запишем эти суждения, взяв в качестве исходного понятие «млекопитающие» и вставив многоточия вместо понятия, которое должно быть результатом обобщения.

Все млекопитающие являются ….

Некоторые … являются млекопитающими.

Будем подставлять вместо многоточий такие понятия, чтобы получались истинные суждения: «животное»; «живое существо»; «существо, дышащее легкими»; «существо, неспособное долго пробыть под водой» и т.д.

Задание 2. Используя круговую схему и суждения обобщения, определи­те, какие понятия второго списка являются обобщениями поня­тий первого списка. Одно и то же понятие можно обобщать различ­ными способами.

Квадрат, галактика, ящерица, повесть Л. Толстого, муравей, рассказ, иллюзионист.

Человек, чешуйчатое животное, произведение искусства, геометрическая фигура, живое существо, космический объект, литературное произведение, артист, ромб, совокупность звезд, повесть, насекомое

Если мы сравним обе операции – ограничение и обобщение, то увидим, что они взаимно дополняют друг друга. Рассмотрим понятия «насекомое» и «муравей». Первое понятие является обобщением второго, а второе понятие является ограничением первого:

насекомое ® муравей (ограничение)

муравей ® насекомое (обобщение)

Обеим операциям соответствует одна и та же круговая схема и одна и та же пара суждений:

Некоторые насекомые (А) есть муравьи (В) Все муравьи (В) есть насекомые (А)

Отрицание понятия. Введем необходимые обозначения. Будем называть универсумом объем родового понятия, которое включает в себя объемы рассмат­риваемых понятий.

Рассмотрим ряд понятий: «растение», «цветок», «дере­во», «млекопитающее», «человек», «животное», «насекомое», «стрекоза». Их объемы находятся в различных отношениях - подчинения, пересечения, соподчинения и т.д., но все они войдут в объем родового понятия «живое существо», который и будет в данном случае универсумом. Понятиям «четное число», «нечетное число», «число натурального ряда» соответствует в качестве универсума объем понятия «целое число».

Универсум по отношению к одним и тем же понятиям не есть нечто раз и навсегда данное. Объемы понятий «четное число», «нечетное число», «натуральное число» мы можем рассматривать также как части уни­версума, охватывающего все числа вообще, включающего рациональные и иррациональные числа, вещес­твенные и мнимые и т.д. Поэтому универсум - явно либо неявно - каждый раз предполагается как нечто определенное.

Универсум обозначается единицей – 1. На схемах изображается прямоугольником, а не кругом, в отличие от объемов обыч­ных понятий.

Противоположностью универсума будет нулевой класс предме­тов, он обозначается знаком Æ.

Теперь можно перейти к операции отрицание.

Отрицание понятия есть переход к новому понятию, объем которого состоит из элементов универсума, не входящих в объем отрицаемого понятия.

Обозначим исходное понятие как А, тогда результатом его отрицания будет понятие не-А. Это новое понятие называется дополнением понятия А. Схематическое изображение операции отрицания:

Затемненная область - объем дополнения понятия А, т.е. не-А

Примем в качестве исходного понятие «самолет». Универ­сумом пусть будет объем понятия «летательный аппарат». Тогда дополнени­ем понятия «самолет» будет понятие «не-самолет», в объем которого войдут все остальные летательные аппараты: вертолеты, дельтапланы, ракеты, планеры, воздушные шары, дирижабли и т.д.

Но примем в качестве универсума объем более общего понятия «транспортное средство». Тогда в объем дополнения «не-самолет» войдут также автомобили, автобусы, поезда, кареты, велосипеды, яхты, мотоциклы, телеги и т.п.

Логическая операция отрицания на первый взгляд выглядит просто, тем не менее с этой операцией связаны опреде­ленные трудности.

Каждое понятие характеризуется не только объемом, но и содержанием, т.е. признаками, на основе которых образуется понятие. Но каким содержанием будет обладать понятие «не-самолет» при универсуме «летательный аппарат»? Это должны быть признаки, общие для летательных аппаратов, но не присущие самолету. И их очень трудно сформулировать. Те же трудности возникнут при определении общих признаков для всех транспортных средств, за исключением самолетов.

Эти признаки нельзя получить формально, так сказать, автоматически. Их нужно каждый раз специально устанавливать, сравнивая элементы объема исходного понятия с элементами его дополнения.

К этому вопросу мы вернемся при рассмотрении операции дихотомического деления.

Задание 3. Проведите операцию отрицания понятий, укажите хотя бы частично, что войдет в объем их дополнений. В скобках указан универсум.

1. Нечетное число (числа натурального ряда);

2. Ребенок (люди);

3. Женатый мужчина (люди);

4. Буква А (гласные буквы русского алфавита);

5. Хищник (живые существа);

6. Прямоугольник (геометрические фигуры);

7. Тупоугольный треугольник (треугольники);

8. Суббота (дни недели).

2. Умножение, сложение и вычитание понятий

Умножение (произведение) понятий. Покажем операцию сначала на примере. Пусть исходными понятиями будут: «человек, говорящий по-английски» (А), «человек, говорящий по-испански» (В) и «человек, говорящий по-китайски» (С). Все три понятия находятся в отношении пересечения, которое можно выразить круговой схемой.

Обратим внимание на затемненную область D на схеме. Ее можно рассматривать как объем нового понятия, объединяющего тех людей, которые способны говорить на всех трех языках: по-английски, по-испански и по-китайски.

Дадим определение умножения.

Умножение понятий состоит в переходе к такому новому понятию, объем которого состоит из элементов, общих для объемов исходных понятий.

Операции умножения в русском языке соответствует союз «И», она обозначается такими же символами, как и операция конъюнкции в логике высказываний, т.е. •, Ù, Ç, &. Иногда знак умножения опус­кается. Допустим, что А, В, С, D, E – исходные понятия, тогда их умноже­ние записывается: А • В • С • D • E, или А Ù В Ù С Ù D Ù E, или А Ç В Ç С Ç D Ç E, или А & В & С & D & E, или АВСDE.

Умножение понятий «человек, говорящий по-английски» (А), «человек, говорящий по-испански» (В) и «человек, говорящий по-китайски» (С) можно записать в виде равенства: А • В • С º D.

В зависимости от того, в каком отношении находятся умножаемые понятия, результат операции может быть различный.

Допустим, что исходными являются понятия, которые находятся в отношении подчинения, например, «лошадь» (А) и «млекопитающее» (В). Перемножаем эти понятия, в результате получаем понятие «лошадь», потому что именно лошади будут элементами как объема понятия «млекопитающее», так и объема понятия «лошадь», см. ниже рис. 1. Затемненная часть - объем понятия, которое является результатом умножения.

Допустим, что исходными являются равнозначные понятия «вторник» (А) и «второй день недели» (В). Результатом их умножения явится понятие «вторник», но можно считать результатом умножения также и понятие «второй день недели», см. рис. 2.

Умножаем понятия «самолет» (А) и «подводная лодка» (В), которые находятся в отношении соподчинения. Получаем пустое понятие, или нулевой класс Æ, так как ни один самолет не является подводной лодкой и ни одна подводная лодка не является самолетом, см. рис. 3. Затемнять нечего.

Аналогичный результат получается при умножении понятий, находящихся в отношении противоположности: «трус» (А) и «смельчак» (В), и противоречия: «сын» (А) и «дочь» (В), рис. 4 и 5.

А · В º В Рис. 1

А · В º А или АВ º В Рис. 2

А · В º Æ Рис. 3

А · В º Æ Рис. 4

А · не-А º Æ   Рис. 5

Усложним ситуацию. Проведем умножение понятий «рыба» (А), «щука» (Б) и «хищная рыба» (В). Строим сначала круговую схему для первых двух понятий, см. ниже рис. 1. Между ними отношение подчинения. Поэтому результатом умножения будет подчиненное понятие «щука», объем которой затемняем, см. рис. 2. Добавляем круг понятия «хищная рыба» (В), оно является подчиняющим по отношению к понятию «щука», поэтому результатом умножения будет снова понятие «щука», см. рис. 3.

Но добавим в схему круг понятия «морская рыба» (Г). Оно является соподчиненным по отношению к понятию «щука»[1], поэтому результатом их умножения явится нулевой класс, затемнять нечего, см. рис. 4.

А и Б Рис. 1

АБ º Б Рис. 2

АБВ º Б Рис. 3

АБВГ º Æ Рис. 4

Этот пример позволяет получить важный вывод: умножение понятий, среди которых есть понятие, находящееся в отношении соподчинения хотя бы с одним понятием, дает в результате нулевой класс, или пустое понятие.

Задание 4. Постройте круговую схему и укажите, какое новое понятие будет результатом умножения понятий.

1. А. Человек, умеющий считать до 10; Б. Человек, умеющий считать до 100; В. Космонавт; Г. Летчик.

2. А. Пальма; Б. Сосна; В. Дерево; Г. Высокое дерево.

3. А. Квадрат; Б. Ромб; В. Четырехугольник; Г. Трапеция.

4. А. Яхта; Б. Частная собственность; В. Парусная яхта.

5. А. Автомобиль; Б. Вертолет; В. Танк; Г. Подводная лодка.

6. А. Умный; Б. Глупый.

7. А. Насекомое; Б. Стрекоза.

8. А. Солнечный день; Б. Вторник.

Сложение (сумма) понятий. Снова начнем с примера. Исходные понятия те же: «человек, говорящий по-английски» (А), «человек, говорящий по-испански» (В) и «человек, говорящий по-китайски» (С).

Данные понятия находятся в отношении пересечения, которое можно выразить круговой схемой. Затемненная область включает в себя объемы всех трех понятий. Суммарный объем соответствует понятию, объединяющему тех, кто говорит только по-английски, только по-испански, только по-китайски, далее, тех, кто говорит на двух из названных языков, наконец, тех, кто говорит на всех трех языках.

Определение операции сложения понятий.

Сложение понятий состоит в переходе к такому новому понятию, в объем которого входят все элементы объемов исходных понятий.

Операции сложения в русском языке соответствует союз «Или», она обозначается такими же символами, как и слабая дизъюнкция в логике высказываний, т.е. Ú или È. Допустим, что А, В, С, D, E – исходные понятия, тогда их сложение записывается: А Ú В Ú С Ú D Ú E, или А È В È С È D È E.

Сложение понятий «человек, говорящий по-английски» (А), «человек, говорящий по-испански» (В) и «человек, говорящий по-китайски» (С) можно записать в виде равенства: А Ú В Ú С º D.

В зависимости от того, в каком отношении находятся складываемые понятия, результат операции может быть различный. Допустим, что в качестве исходных мы имеем понятия, которые находятся в отношении подчинения, например, «лошадь» (А) и «млекопитающее» (В). Складываем эти понятия, в результате получаем понятие «млекопитающее», потому что именно в объем этого понятия войдут и лошади, и млекопитающие, см. ниже рис. 1. Затемненная часть - объем понятия, которое является результатом сложения.

Допустим, что исходными являются равнозначные понятия «вторник» (А) и «второй день недели» (В). Результатом их сложения явится понятие «вторник», но можно считать результатом сложения также и понятие «второй день недели», см. рис. 2.

Складываем понятия «самолет» (А) и «подводная лодка» (В). Они находятся в отношении соподчинения. Получаем понятие с объемом, в который войдут как самолеты, так и подводные лодки, см. рис. 3.

Аналогичный результат будет при сложении понятий, находящихся в отношении противоположности: «трус» (А) и «смельчак» (В), и противоречия: «сын» (А) и «дочь» (В), рис. 4 и 5.

А Ú В º В Рис. 1

А Ú В º А или А Ú В º В Рис. 2

А Ú В Рис. 3

А Ú В Рис. 4

А Ú не-А º1 Рис. 5

Усложним ситуацию. Произведем сложение понятий «рыба» (А), «щука» (Б) и «хищная рыба» (В). Строим сначала круговую схему для первых двух понятий, см. ниже рис. 1. Между ними отношение подчинения. Поэтому результатом сложения будет подчиняющее понятие «рыба», объем которой мы затемняем, см. рис. 2. Добавляем круг понятия «хищная рыба» (В), оно является подчиненным по отношению к понятию «рыба», поэтому результатом конечного сложения будет снова понятие «рыба», см. рис. 3.

Добавим в схему круг понятия «морская рыба» (Г). Оно тоже является подчиненным по отношению к понятию «рыба», поэтому результатом их сложения останется понятие «рыба», см. рис. 4.

А и Б Рис. 1

А Ú Б º А Рис. 2

АÚБÚВºА Рис. 3

А Ú Б Ú В Ú Г ºА Рис. 4

Этот пример позволяет получить важный вывод: сложение понятий, среди которых есть понятие, подчиняющее все остальные понятия, дает в результате это подчиняющее понятие. Можно сформулировать и по-другому: сумма понятий равна понятию, родовому по отношению к остальным понятиям.

Обратим внимание на следующую особенность. Грамматичес­кое значение союзов «И» и «Или» в естественном русском языке не всегда совпадает со значением этих союзов в качестве логичес­ких операций умножения и сложения. Поэтому невозможен чисто формальный перевод грамматического смысла в логичес­кий. Необходим содержательный анализ языкового выражения для того, чтобы определить его логический смысл.

Рассмотрим в качестве примера объявление в троллейбусе: «Места для детей, инвалидов и людей пожилого воз­раста». Здесь запятая и грамматический союз «И» означают логи­ческую операцию не умножения, как можно было бы понять, если рассуждать формально, но сложения, т.е. на деле речь идет о логическом союзе «Или». Поэтому с логической точки зрения более точным было бы такое объявление: «Места для детей, или инвалидов, или людей пожилого возраста». В противном случае пришлось бы признать, что в объявлении используется понятие с нулевым объемом, так как конечно же, не существует детей-инвалидовпожилого возрас­та.

Задание 5. Постройте круговую схему и укажите, что войдет в объем нового понятия при сложении понятий.

1. А. Пальма; Б. Сосна; В. Высокое дерево.

2. А. Квадрат; Б. Ромб; В. Четырехугольник; Г. Трапеция.

3. А. Яхта; Б. Частная собственность; В. Парусная яхта.

4. А. Автомобиль; Б. Вертолет; В. Танк; Г. Подводная лодка.

5. А. Умный; Б. Глупый.

6. А. Насекомое; Б. Стрекоза.

7. А. Солнечный день; Б. Вторник.

Вычитание понятий. Допустим, мы снова имеем понятия «человек, говорящий по-английски» (А), «человек, говорящий по-испански» (В) и «человек, говорящий по-китайски» (С). Все три понятия находятся в отношении пересечения, выразим это круговой схемой.

Обратим внимание на затемненную область на схеме. Ее можно рассматривать как объем понятия, объединяющего людей, способных говорить по-английски, но не по-испански, и не по-китайски. Данное понятие образовалось посредством вычитания из объемов понятия А объемов понятий В и С. Назовем понятие А вычитаемым, а понятия В и С вычитающими понятиями.

Дадим определение операции.

Вычитание понятий состоит в переходе к такому новому понятию, объем которого включает лишь те элементы объема вычитаемого понятия, которые не входят в объем вычитающего понятия.

Операции вычитания в русском языке соответствуют выражения «А, за исключением В», «А, кроме В», «А, но не В», операция записывается: А - В. Причем В может означать несколько понятий, объединенных умножением или сложением. В выше приведенном примере из понятия А вычиталась сумма понятий В и С. Но рассмотрим ситуацию, изображенную на круговой схеме.

Теперь затемненная область представляет объем понятия, которое объединяет людей, способных говорить по-английски, а также по-английски и по-испански, по-английски и по-китайски, но не говорящих только по-испански, только по-китайски и одновременно по-испански и по-китайски. Новое понятие образовалось путем вычитания из объема понятия А результата умножения понятий В и С.

Первый пример вычитания можно записать в виде формулы А -(В Ú С), второй пример - в виде формулы А -(В · С).

В зависимости от того, в каком отношении находятся понятия, результат вычитания может быть различный.

Возьмем в качестве исходных понятия, которые находятся в отношении подчинения: «лошадь» (А) и «млекопитающее» (В). Вычитаем из понятия В понятие А, в результате получаем понятие, в объем которого войдут лишь те млекопитающие, которые не являются лошадьми, см. ниже рис. 1. Затемненная часть - объем понятия, которое получилось в результате вычитания.

Допустим теперь, что исходными являются равнозначные понятия «вторник» (А) и «второй день недели» (В). Результатом вычитания одного из другого явится пустое понятие, или нулевой класс, см. рис. 2.

Вычтем из понятия «самолет» (А) понятие «подводная лодка» (В), эти понятия находятся в отношении соподчинения. Получаем понятие «самолет», так как в объем этого понятия не входит ни одна подводная лодка, см. рис. 3.

Тот же результат будет при вычитании одного понятия из другого, если они находятся в отношении противоположности: «трус» (А) и «смельчак» (В), или противоречия: «сын» (А) и «дочь» (В), рис. 4 и 5.

А - В Рис. 1

А - В ºÆ Рис. 2

А - В º А Рис. 3

А - В º А Рис. 4

А - не-А º А Рис. 5

Присматриваясь к рис. 1, можно заметить, что он совпадает с изображением операции отрицания понятия А. Различие в том, что понятие В является родовым по отношению к А, а при отрицании идет речь об универсуме. Но универсум и есть родовое понятие по отношению к понятию, которое отрицается. Результат вычитания А из В, таким образом, совпадает с дополнением понятия А. Можно так сказать: В - А есть дополнение не- А при условии, что В рассматривается в качестве универсума.

Рис. 2 тоже можно понять как изображение отрицания понятия А при условии, что в качестве универсума будет рассматриваться само А или равнозначное ему понятие В.

Остальные рисунки можно истолковать как изображения операции отрицания, если рассматривать понятия А в качестве универсума, а понятия В и не- А как понятия, соподчиненные универсуму.

Обратим внимание на то, что произведение и вычитание понятий можно представить как разновидность ограничения. Умножим понятия «понедельник» (А) и «солнечный день» (В). Получаем понятие «солнечный понедельник» (С), которое является ограничением исходных понятий. Можно построить соответствующие суждения:

Некоторые понедельники есть солнечные понедельники, т.е. «Некоторые А есть C».

Все солнечные понедельники есть понедельники, т.е. «Все C есть А».

Вычтем из понятия «понедельник» (А) понятие «солнечный день» (В). Получаем понятие «несолнечные понедельники» (С). Здесь тоже применимы суждения ограничения:

Некоторые понедельники есть несолнечные понедельники, т.е. «Некоторые А есть С».

Все несолнечные понедельники есть понедельники, т.е. «Все С есть А».

Сумму понятий можно представить как разновидность обобщения. Сложим понятия «понедельник» (А) и «солнечный день» (В). Получаем понятие, которое объединит «несолнечные понедельники», «солнечные понедельники» и «солнечные дни, кроме понедельника», обозначим это понятие как С, оно является обобщением исходных понятий. Можно построить соответствующие пусть несколько неуклюжие суждения:

Все понедельники есть либо несолнечные понедельники, либо солнечные понедельники, либо солнечные дни, кроме понедельника, т.е. «Все А есть С».

Некоторые из несолнечных понедельников, либо солнечных понедельников, либо солнечных дней, кроме понедельника, - есть понедельники, т.е. «Некоторые C есть А».

Операцию отрицания, т.е. переход к дополнению исходного понятия, тоже можно представить как ограничение соответствующего универсума. Таким образом, ограничение и обобщение являются элементарными операциями, лежащими в основе других операций с понятиями, что-то вроде логических кирпичиков. Поэтому мы и дали их в начале раздела по операциям с понятиями. В дальнейшем мы увидим, что ограничение лежит в основе операций деления и определения понятия.

Задание 6. Выполните операцию вычитания, укажите соответствующую круговую схему и перечислите, хотя бы не полностью, что войдет в объем понятия-результата.

Вычитаемые понятия	Вычитающие понятия
А. Насекомое	Б. Стрекоза.
А. Вторник	Б. Солнечный день
А. Пальма; Б. Сосна.	В. Высокое дерево.
А. Яхта.	Б. Частная собственность;
А. Умный;	Б. Глупый.
А. Человек, умеющий считать до 10.	Произведение понятий: Б. Человек, умеющий считать до 100; В. Космонавт; Г. Летчик.
А. Человек, умеющий считать до 10.	Сумма понятий: Б. Человек, умеющий считать до 100; В. Космонавт; Г. Летчик.

3. Деление понятия

При анализе определенного понятия иногда необходимо конкретизировать его объем. Для этого понятие приравнивают к сумме его ограничений[2].

Например, понятие «лес» можно представить как сумму понятий «лиственный лес», «хвойный лес» и «смешанный лес», которые являются его ограничениями. Совершая такое действие, мы тем самым выполняем операцию деления понятия. Дадим ее определение.

Деление понятия есть логическая операция, состоящая в переходе от исходного понятия к сумме его ограничений.

Деление понятия можно изобразить через круговую схему. Обозначим понятие «лес» буквой A, его ограничения «лиственный лес» буквой B, «хвойный лес» - C, «смешанный лес» - D. Тогда весь круг A соответствует объему понятия «лес», а части круга B, C, D - его ограничениям.

Результат деления можно записать в виде равенства:

A º B Ú C Ú D

Понятие, к которому применяется операция деления, называется делимым понятием. Понятия, составляющие в сумме делимое понятие, называются членами деления. Деление производится по одному или нескольким признакам, входящим в содержание делимого понятия, эти признаки называются основанием деления.

Так, содержание понятия «лес» включает в себя признаки: «быть достаточно большой совокупностью деревьев» + «лиственных, или хвойных, или лиственных и хвойных». При его делении мы опирались на второй признак в качестве основания.

От логической операции деления понятия (которое есть мысль), необходимо отличать деление конкретного предмета на части. Например, лес как понятие объединяет все леса, где бы они ни находились, но лес как предмет есть конкретная совокупность деревьев.

Чтобы убедиться в том, что мы делим именно по­нятие на члены деления, а не предмет на части, нужно построить суждения ограничения: «Некоторые А есть В» и «Все В есть А», где А – делимое понятие, В – один из членов деле­ния. Если получаются бессмысленные выражения, значит, разделили не понятие, а предмет.

Проведем опыт. Строим суждения «Неко­торые леса есть деревья», «Все деревья есть леса». Получились суждения, которые не имеют смысла. Значит, мы разделили не понятие, но предмет.

Теперь построим следующие суждения: «Некоторые леса являются лиственными лесами», «Все лиственные леса есть леса». Эти суждения имеют смысл, больше того – они истинны. Следовательно, мы провели деление по­нятия.

Различают деление по видоизменению признаков и ди­хотомическое деление[3].

Рассмотрим первый вид деления. Здесь члены деления получаются через изменение (варьирование) признаков содержания делимого понятия.

Например, животные делятся на птиц, морских, речных и на­земных животных. Основанием деления здесь выступает среда обитания, изменяя этот признак – воздух, море, река, земля – мы полу­чаем те или иные виды животных.

Вспомним в качестве еще одного примера чеховскую Каштанку, которая делила всех людей на заказчиков и хозяев. Первых она могла хватать за икры, вторые сами могли ее поколачивать. Ясно, что здесь тоже речь идет о делении по видоизменению при­знака.

Одно и то же понятие можно делить по различным основаниям, выбирая из его содержания те или иные признаки. И в результате получать различные члены деления. Так, людей можно делить не только на заказчиков и хозяев, как это делала чеховская Каштанка, но по полу, т.е. на мужчин и женщин, по расам, национальностям, профессиям, цвету волос, росту и т.д. Но нельзя делить людей на тех, кто нравится Петро­ву, и на тех, кто ему не нравится. То есть основанием деления должны быть признаки, отражающие реальные особенности самих предметов, нез