Ковер Серпинского

Еще один пример простого самоподобного фрактала --- ковер Серпинского (рис.3.), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Сам термин ковер (gasket) принадлежит Мандельброту. В способе построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти. Позднее мы рассмотрим и другие способы, в частности с использованием L-систем, а также на основе итерированных функций.

Рис.3. Ковер Серпинского

Пусть начальное множество S₀ --- равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем S₀ на четыре меньшие треугольные области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Назовем оставшееся множество S₁ (рис. 4). Затем повторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующее приближение S₂. Продолжая таким образом, получим последовательность вложенных множеств S_n, чье пересечение образует ковер S.

Из построения видно, что весь ковер представляет собой объединение N = 3 существенно не пересекающихся уменьшенных в два раза копий; коэффициент подобия r = ½ (как по горизонтали, так и по вертикали). Следовательно, S --- самоподобный фрактал с размерностью:

d = log(3)/log(2) ~ 1,5850.

Рис. 4. Построение ковра Серпинского

Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при построении, в точности равна площади исходного треугольника. На первом шаге мы выбросили ¼ часть площади. На следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем площадь каждого равна ¼ ² площади исходного. Рассуждая таким образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади составила:

1/4 + 3_*(1/4²) + 3²_*(1/4³) + … + 3^n-1_*(1/4ⁿ) + ….

Эта сумма равна 1 (доказательство в [1]). Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то есть ковер, имеет площадь меры нуль. Это выделяет множество S в разряд «совершенного», в том смысле, что оно разбивает свое дополнение на бесконечное число треугольных областей, обладая при этом нулевой толщиной.