Теория атома водорода по Бору

Постулаты, выдвинутые Бором, позволили рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем - систем, состоящих из ядра с зарядом Zeи одного электрона (например, ионы Не⁺, Li²⁺), а также теоретически вычислить постоянную Ридберга.

Следуя Бору, рассмотрим движение электрона в водородоподобной системе, ограничиваясь круговыми стационарными орбитами. Решая совместно уравнение m_ev²/r = Ze²/(4pe₀r²),предложенное Резерфордом, и уравнение , получим выражение для радиуса n-й стационарной орбиты:

где n = 1, 2, 3,.... Из выражения следует, что радиусы орбит растут пропорционально квадратам целых чисел.

Для атома водорода (Z = 1) радиус первой орбиты электрона при n = 1, называемый первым воровским радиусом (а), равен

что соответствует расчетам на основании кинетической теории газов. Так как радиусы стационарных орбит измерить невозможно, то для проверки теории необходимо обратиться к таким величинам, которые могут быть измерены экспериментально. Такой величиной является энергия, излучаемая и поглощаемая атомами водорода.

Полная энергия электрона в водородоподобной системе складывается из его кинетической энергии (m_ev²/2) и потенциальной энергии в электростатическом поле ядра (-Ze²/(4pe₀r):

Учитывая квантованные для радиуса n-й стационарной орбиты значения,получим, что энергия электрона может принимать только следующие дозволенные дискретные значения:

где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии.

Придавая n различные целочисленные значения, получим для атома водорода (Z= 1), согласно формуле возможные уровни энергии, схематически представленные на рисунке. Энергия атома водорода с увеличением n возрастает и энергетические уровни сближаются к границе, соответствующей значению n =¥. Атом водорода обладает, таким образом, минимальной энергией (E1 = -13,55 эВ) при n = 1. максимальной (E_¥ = 0) при n = ¥. Следовательно, значение E_¥ = 0 соответствует ионизации атома (отрыву от него электрона). Согласно второму постулату Бора,при переходе атома водорода (Z= 1) из стационарного состояния n в стационарное состояние m с меньшей энергией испускается квант

откуда частота излучения