Теоретическая часть. Термин фрактал (от латинского fractus - "дробный, состоящий из частей") был впервые использован для описания самоподобных структур в работе Бенуа

Лабораторная работа № 2

Тема: "Фракталы";

 

Термин фрактал (от латинского fractus - "дробный, состоящий из частей") был впервые использован для описания самоподобных структур в работе Бенуа Мандельброта "Фракталы" в 1975 году (Beno î t Mandelbrot "Les objets fractals, forn, hasard et dimension";). Наиболее общее понятие фрактала, данное Мандельбротом, следующее: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому";.

Яркие примеры применения фракталов к описанию различных природных явлений и объектов даны в книге Мандельброта "Фрактальная геометрия природы" (Benoit Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature", 1982). Книга принесла ученому всемирную известность, а фрактальная геометрия была по праву признана важной областью исследования.

 

Фракталы принято разделять на три группы: геометрические, алгебраические и стохастические.

 

Геометрические фракталы являются наиболее простыми в получении и самыми наглядными. В простейшем двумерном случае их получают с помощью некоторой ломаной, называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков. составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.

В качестве примера рассмотрим процесс построения триадной кривой Кох. Эта кривая была рассмотрена Гельге фон Кох ещё в 1904 году. Процесс построения кривой начинается с единичного отрезка (0-й шаг) (см. рис. 1).

Рис. 1. Кривая Коха

Далее разделим этот отрезок на три равные части и заменим средний интервал двумя связанными отрезками той же длины, как это показано на рисунке. В результате образуется новая ломаная (1-й шаг), состоящая из четырёх звеньев.

На следующем шаге та же операция применяется к каждому из четырёх звеньев в отдельности. Получаются новые ломаные, причём вершины каждой остаются вершинами последующей.

Продолжая этот процесс до бесконечности, получим фрактальную кривую Кох. Кривые, получаемые на n-том шаге, при любом конечном n, принято называть предфракталами.

Метод L-систем

Наиболее простым способом построения геометрических фракталов является метод L‑систем, разработанный Аристидом Линденмайером (Aristid Lindenmayer Mathematical models for cellular interaction in development I. Filaments with one-sided inputs. Journal of Theoretical Biology, 1968 - 18). Биолог по образованию, Линденмайер предложил метод описания сложных природных объектов и процессов с помощью простых составляющих и некоторых правил их преобразования. При этом он использовал определенную формальную грамматику, опирающуюся на правила генерации и преобразования символьных строк.

Пусть имеется некоторая состоящая из произвольных символов строка, называемая аксиомой, и набор строк, называемых правилами. Каждое правило имеет вид символ à строка.

Например:

Аксиома: acb

Правила: a à ab,