Работа №3. Изучение динамики вращательного движения и измерение осевых моментов инерции твердых тел на маховике Обербека.

19. В чём состоит закон сохранения момента импульса для замкнутых систем?

Работа №3. Изучение динамики вращательного движения и измерение осевых моментов инерции твердых тел на маховике Обербека.

Цель работы. Усвоить основной закон динамики вращательного движения. Косвенно измерить момент инерции цилиндрических тел. Установить зависимость осевых моментов инерции вращающихся на маховике грузов от расстояния до оси вращения.

Приборы и принадлежности. Маховик Обербека, автоматический счётчик времени, четыре цилиндрических тела с одинаковой массой, масштабная линейка.

Вращательным движением тела назывется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, плоскости которых параллельны друг другу, а центры лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Для измерения осевого момента инерции, в работе используется крестообразный маховик Обербека.

Маховик Обербека (рис. 3) представляет собой свободно вращающуюся относительно неподвижной горизонтальной оси крестовину, выполненную в виде четырёх взаимно перпендикулярных металлических стержней. Ось крестовины закреплена на вертикальной стойке, установленной на массивном основании. На стержни одеты цилиндрические муфты (2) известной массы, которые закрепляются на заданном расстоянии r от оси вращения с помощью стопорных винтов.

Перемещая муфты вдоль стержней на то или иное расстояние r, можно изменять осевой момент инерции системы. Считая, что масса однородного цилиндра сосредоточена в его геометрическом центре, где размещён стопорный винт, выразим осевой момент инерции муфт по формуле

 

(17).

 

На оси маховика жёстко укреплены два соосных шкива различных диаметров d₁ и d₂, на которые в один ряд наматывается нить (нить считаем нерастяжимой и невесомой). Один конец нити прикрепляется к шкиву, к другому концу нити, переброшенной через вспомогательный блок 1, подвешивается груз массой m (4).

Изменением массы груза m, путём наложения перегрузков с массой m₁, можно изменять силу натяжения нити Т, под действием которой маховик совершает равномерно-ускоренное вращательное движение с угловым ускорением , которое согласно основному закону динамики вращательного движения (6) прямо пропорционально моменту силы натяжения нити . Поскольку сила натяжения направлена вертикально, её плечо в соответствии с (3) равно или .

Одновременно под действием силы тяжести груз m совершает равноускоренное поступательное движение вниз. При этом считаем, что момент сил трения относительно оси вращения маховика мал по сравнению с моментом силы натяжения нити.

На вертикальной стойке прибора укреплены два кронштейна: нижний (5) – неподвижный, верхний (3) – подвижный. Верхний кронштейн можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в любом положении, задавая тем самым длину пути h вертикального перемещения груза m.

Для измерения длины пути на стойке нанесена миллиметровая шкала.

Прибор снабжён счётчиком времени – миллисекундомером, не ведущим отсчёт времени при нажатых кнопках «сеть» или «сброс».

Измерения времени движения груза m осуществляется с использованием двух фотоэлектрических датчиков, вмонтированных в верхний и нижний кронштейны и подключенных к секундомеру. Расстояние между световыми лучами обоих датчиков равно длине пути вертикального перемещения груза h. Датчики включаются в работу при нажатии клавиши «сеть».

Нажатие клавиши «пуск» включает секундомер и одновременно выключает электромагнит, удерживающий крестовину, после чего начинается вращение крестовины и движение груза m вниз.

При пересечении грузом верхнего светового луча секундомер начинает отсчёт времени. При пересечении нижнего светового луча секундомер автоматически выключается. Время движения груза от одного светового луча до другого высвечивается на индикаторе секундомера с абсолютной ошибкой , что намного меньше точности измерения времени человеком-оператором.

Расстояние между центрами масс, противоположно закреплённых грузов, измеряются мерной линейкой. Диаметры шкивов измеряются штангенциркулем. Массы грузов 4 заданы с абсолютной погрешностью .

Перед выполнением опытов на маховике Обербека необходимо добиться симметричного распределения грузов на крестовине. Это делается путём перемещения грузов 2 на противоположных стержнях так, чтобы при ненатянутой нити грузы оставались в состоянии безразличного равновесия.

Для проведения опытов маховик приводят в равноускоренное вращательное движение, опуская груз m₁ с заданной высоты и измеряя при этом время его движения t на пути h. Линейное ускорение движения груза можно вычислить по формуле

(18).

Так как при движении груза нить сматывается со шкива без проскальзывания, то линейное ускорение груза равно касательному ускорению точек, лежащих на цилиндрической поверхности шкива. Следовательно, угловое ускорение маховика

(19)

(где - радиус шкива).

С другой стороны согласно основному закону динамики вращательного движения (6) угловое ускорение пропорционально моменту силы натяжения нити и обратно пропорционально моменту инерции I всей системы (блок, крестовина, грузы) - . Момент силы

(где Т – сила натяжения нити, d/2 - плечо силы).

Согласно второму закону Ньютона действующая на нить сила

(20),

(где g – ускорение свободного падения, - линейное ускорение поступательного движения груза).

Поскольку нить не растяжима сила F, уравновешивается силой T. Следовательно, момент силы

(21).

Выразив из уравнения (6) и подставив в эту формулу и из (18) и (20) получим:

(22).

Как видно из (22), чтобы косвенно измерить момент инерции, надо прямыми измерениями найти массу груза,

создающего натяжение нити, диаметр блока, по которому движется точка приложения силы, высота с которой опускается груз, и время опускания.

Вычисленное по формуле (22) значение момента инерции маховика включает в себя момент инерции крестовины с блоком и момент инерции четырёх грузов с массой m (2):

(23).

Искомый момент инерции грузов

(24),

где - осевой момент инерции вращающихся грузов 2;

- осевой момент инерции маховика без грузов;

- осевой момент инерции маховика с грузами.

Осевой момент инерции маховика без грузов измеряется так же, как и момент инерции . В формулу подставляются значения и , измеренные при вращении крестовины со снятыми с неё грузами.

Считая грузы материальными точками, можно рассчитать теоретическое значение осевого момента инерции по формуле (16):

(25),

(где m – масса одного вращающегося груза 2, r – расстояние центра масс груза от оси вращения).

Сопоставление значений моментов инерции четырёх вращающихся грузов, рассчитанных по формулам (23) и (24) позволяет судить о качестве проделанной работы.

Проделав косвенные измерения момента инерции груза при разных значениях расстояния их центров от оси вращения (поочерёдно размещая грузы 2 на концах стержней, на их середине и вблизи оси крестовины), можно опытным путём установить характер зависимости момента инерции от распределения массы относительно оси вращения. По определению момента инерции, как меры инертности тела при вращательном движении, эта зависимость является квадратичной (5). Графиком такой зависимости является парабола . Откладывая на оси значения моментов инерции, рассчитанных по формулам (23) и (24), а по оси квадрат расстояния , можно построить экспериментальные и теоретические параболы. При этом принимать коэффициент равным массе 4-х грузов (). Совмещение точек таких парабол служит подтверждением качества выполнения эксперимента и правомерности применения модели материальных точек к однородным цилиндрам равной длины.