Вычисление объемов тел вращения.

Пусть требуется вычислить объем тела вращения вокруг оси OX.

Тогда .

Аналогично, объем тела вращения вокруг оси OY, если функция задана в виде , можно вычислить по формуле .

Если функция задана в виде и требуется определить объем тела вращения вокруг оси OY, то формулу для вычисления объема можно получить следующим образом.

Переходя к дифференциалу и пренебрегая квадратичными членами, имеем . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, имеем .

ВОПРОС

Вычисление длины дуги

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

Если дуга задана в полярной системе координат, то

. Поэтому .

 

Площадь поверхности тела вращения.

Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.

 

Разобьем дугу АВ на n частей точками M₀, M₁, M₂, …, M_n. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты x_i и y_i. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна DP_i. Эта площадь может быть найдена по формуле:

Здесь DS_i – длина каждой хорды.

Применяем теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа.) к отношению .

Получаем:

Тогда

Площадь поверхности, описанной ломаной равна:

Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что

Тогда - формула вычисления площади поверхности тела вращения.

28 вопрос

 

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ¥). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].

Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ¥).

Обозначение:

 

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

 

Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:

 

Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.