Кольца и поля.

Кольцом называется множество математиче­ских объектов, в котором определены два действия — «сложение» и «умножение», сопоставляющие упорядоченным парам элемен­тов их «сумму» и «произведение», являющиеся элементами того же множества. Предполагается, что действия удовлетворяют следую­щим требованиям:

1. (a+b)+ с = а + (b+c) (ассоциативность сложения).

2. а + b = b + а (коммутативность сложения).

3. Существует нулевой элемент 0 такой, что а + 0 = а при любом а.

4. Для каждого а существует противоположный — а такой, что а+(—а) = 0.

5. (a + b)с = ас + bc

5'. с(а + b) = са + cb

(левая и правая дистрибутивность).

Первые четыре требования обозначают, что элементы кольца образуют абелеву группу относительно сложения, которая назы­вается аддитивной группой кольца.

Выведем простейшие следствия из поставленных требований.

Предложение 1. Если а + х = а + у, то х = у.

Предложение 2. При данных а и b уравнение а + х = b имеет единственное решение (-a)+b.

Из предложения 2 следует единственность нуля и противопо­ложного элемента, ибо 0 есть решение уравнения а + х = а, а - а есть решение уравнения а+х = 0.

Предложения 1 и 2 верны для любой абелевой группы, а не только для аддитивной группы кольца.

Предложение 3. a • 0 = 0 • a = 0 при любом а.

Наиболее употребимыми являются:

6. (ab)c = a(bc) (ассоциативность умножения).

При выполнении этого требования элементы кольца образуют по­лугруппу относительно умножения.

7. ab = bа (коммутативность умножения).

8. Существование единичного элемента 1 (т. е. такого, что а • 1 = 1 • a = а для любого элемента а).

9. Существование обратного элемента а^-1 для любого элемента а, отличного от 0.

В конкретных кольцах эти требования могут выполняться как порознь, так и вместе в различных комбинациях. Кольцо назы­вается ассоциативным, если в нем выполнено условие 6, коммута­тивным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциатив­ным, если выполнены условия 6 и 7. Если выполнено условие 8, говорят о кольце с единицей, снабжая слово «кольцо» прилага­тельным в зависимости от выполнения условий 6 и 7.

Если в кольце есть единица, то она единственна. Действи­тельно, если 1 и 1' — две единицы, то 1' = 1, так как Г — еди­ница, и 1'= Г, так как 1 —единица, поэтому 1 = 1’.

 

Кольцо называется областью целостности, если из равенства ub = 0 следует, что хотя бы один из сомножителей а или b ра­вен 0.

Полем называется коммутативное ассоциативное кольцо с еди­ницей, в котором каждый отличный от нуля элемент а имеет обратный а^-1. Иными словами, поле есть кольцо, в котором отличные от нуля элементы образуют коммутативную группу. Эта груп­па носит название мультипликативной группы поля. Любое поле есть область целостности.

Характеристика ноля всегда равна простому числу.

 

 

Если же любое кратное единицы отлично от нуля, то говорят, что характеристика поля равна 0.

Приведем теперь примеры. Множество Z всех целых чисел образует кольцо, коммутативное, ассоциативное и с единицей. Оно является областью целостности, но не полем. Полями являются множество Q всех рациональных чисел и множество R всех ве­щественных чисел.

 

Все правила и формулы элементарной алгебры, включая тео­рию уравнений, полностью сохраняются, если под буквами пони­мать элементы любого поля, так как в основе этих правил и формул лежат свойства действий и возможность деления, кроме деления на нуль.

В этом примере квадратный корень благополучно извлекся. Могло бы случиться и так, что элемент, находящийся под знаком квадратного корня, не является квадратом какого-либо элемента поля. Это означало бы, что данное квадратное уравнение не имеет Корней в исходном поле.

Вопрос №19. Обратимые элементы в поле и кольце вычетов, формула Эйлера для числа взаимопростых чисел с данным числом.

Обратимым элементом, а также единицей кольца или делителем единицы, называется всякий элемент a кольца, для которого существует обратный элемент относительно умножения, то есть такой элемент b, что ab = ba = e, где e — единичный элемент кольца.

Вопрос №20. Мультипликативная группа обратимых элементов кольца вычетов Z_n и её порядок

Логика и доказательство

Вопрос №21. Классификация суждений-высказываний по количеству и качеству, логический квадрат.

По количеству суждения делятся на общие, частные. Количество определяется объемом субъекта суждения. Объем субъекта может быть пол ным (все, ни один) или частичным (некоторые).

Простое суждение можно записать в виде формулы. Количественная характеристика суждений передается с помощью кванторов. Единичные суждения относятся к общим.

 

Классификация простых суждений:

 

Вопрос №22. Виды непосредственных умозаключений

Виды непосредственных умозаключений:

· Превращение.

· Обращение.

· Противопоставление предикату.

Покажем преобразования суждений каждого логического вида на конкретных примерах. Для каждого суждения запишем формулу, определим понятия соответствующие субъекту (S) и предикату (P)

1. «Все фиалки являются цветами» (А),) S(P S; S – «быть фиалкой», P – «те, кто является цветком».

2. «Никто из мушкетеров не уклонялся от дуэлей» (Е), SP(S); S – «быть мушкетером», P – «те, кто уклоняется от дуэлей».

Превращение – операция, при которой изменяется качество посылки, без изменения ее количества. Осуществляется двумя способами:

1. используя двойное отрицание, которое ставится перед связкой и перед предикатом: S есть P → S не есть не –P. Ни одна фиалка не является не–цветком.

2. перевод отрицания из связки в предикат: S не есть P → S есть не– P. Все мушкетеры являются теми, кто не уклоняется от дуэлей.

Обращение – операция, при которой качество суждения остается прежним, а субъект и предикат меняются местами.

1. Все S есть P (A) → Некоторые P есть S (J). Некоторые цветы являются фиалками.

2. Ни одно S не есть P (Е) → Ни одно P не есть S (Е). Ни один человек, уклоняющийся от дуэлей, не является мушкетером.

Противопоставление предикату – логическая операция, при которой в заключении предикатом является субъект, субъектом – понятие, противоположное предикату исходного суждения, связка меняется на противоположную:

S есть P → не–P не есть S.

Схема построения:

· Вместо Р берем не–Р.

· Меняем местами S и не–Р.

· Связку меняем на противоположную.

1. Все S есть P (A) → Ни одно не–P не есть S (О) Ни один не–цветок не является фиалкой.

2. Ни одно S не есть P (Е) → Некоторые не–P есть S (J) Некоторые люди, не уклоняющиеся от дуэлей, являются мушкетерами.

 

Вопрос №23. Законы логики

Чтобы избежать искаженного представления о предмете статьи, укажем, что, говоря об основных законах логики, мы имеем в виду законы формальной логики (тождества, непротиворечия, исключенного третьего, достаточного основания), а не логики предикатов.

Логический закон – внутренняя существенная, необходимая связь между логическими формами в процессе построения размышления. Под логическим законом Аристотель, который, к слову, первым сформулировал три из четырех законов формальной логики, подразумевал предпосылку к объективной, «природной» правильности рассуждения.

Многие учебные материалы часто предлагают следующие формулы для записи основных законов логики:

• Закон тождества – А = А, или А⊃ А;
• Закон непротиворечия – A ∧ A;
• Закон исключенного третьего – A ∨ A;
• Закон достаточного основания – А ⊃ В.

Стоит помнить, что такое обозначение во многом условно и, как отмечают ученые, не всегда в полной мере способны раскрыть суть самих законов.

 

 

Вопрос №24, 25. Силлогизм: термины и посылки, фигуры и модусы. Правила силлогизмов. Ошибки посылок и вывода.

Категорический силлогизм – это умозаключение, в котором из двух простых суждений (посылок) следует новое простое суждение (заключение). Понятия в суждениях, из которых состоит силлогизм, называются терминами силлогизма. Различают больший, меньший и средний термины.

Больший термин (Р)– понятие, которое входит в одну из посылок и выступает в заключении предикатом. Посылка с этим термином называется большей и обычно ставится первой.

Меньший термин (S)– понятие, которое входит в другую посылку и выступает субъектом в заключении. Посылка с этим термином называется меньшей и обычно ставится после большей посылки.

Средний термин (М)– понятие, которое присутствует в обеих посылках и отсутствует в заключении.