Операционные числа

 

— А знаешь, — вдруг сказал Крейг, — я только сейчас сообразил, что все эти задачи могут быть решены, если исходить из некоторого общего принципа. Стоит лишь его понять, как оказывается возможным решать не только те задачи, которые ты мне задавал, но и массу других!

— Например, — продолжал Крейг, — должно существовать число, которое порождает повторение обращения своего собственного ассоциата, или, к примеру, число, которое порождает ассоциат повторения своего собственного обращения, или еще число, которое…

— Поразительно, — прервал его Мак-Каллох. — Я пробовал было отыскать несколько таких чисел, но у меня ничего не вышло. Что же это за числа?

— Ты научишься находить их мгновенно, как толь ко узнаешь, что это за принцип!

— Да что же это за принцип? — взмолился Мак-Каллох.

— И это не все, — продолжал Крейг, которому доставляло явное удовольствие разыгрывать Мак-Каллоха. — Я еще могу найти число X, которое порождает повторение обращения двоимого ассоциата X, или число Y, порождающее обращение двойного ассоциата числа YYYY, или число Z, которое…

— Хватит-хватит! — воскликнул Мак-Каллох. — А почему ты все-таки не хочешь мне сказать, в чем заключается твой принцип, а уж потом перейти к приложениям?

— Ну ладно, — согласился Крейг.

Тут инспектор взял лежавший на столе блокнот, вынул ручку и усадил Мак-Каллоха рядом с собой, с тем чтобы его друг мог видеть, что он пишет.

— Прежде всего, — начал Крейг, — я полагаю, что ты знаком с понятием операции над числами, как, например, операция прибавления единицы к данному числу, или операция умножения числа на 3, или операция возведения данного числа в квадрат, или, что имеет более близкое отношение к твоей машине, операция взятия обращения заданного числа или операции получения повторения и ассоциата некоторого числа, или же, наконец, более сложные операции, как, например, операция построения обращения повторения ассоциата некоторого числа. При этом буквой F будет обозначаться некоторая произвольная операция, а запись F(X), где X—заданное число (мы будем читать Это выражение как «эф от икс»), будет означать результат выполнения операции F над числом X. Все это как ты прекрасно понимаешь, — вполне обычные математические обозначения. Итак, к примеру, если F есть операция обращения, то число F(X) есть обращение числа X; если же F будет обозначать операцию повторения, а выражение F(X) будет повторением числа X и так далее.

Пусть теперь имеются определенные числа — а фактически любые числа, составленные из цифр 3, 4 или 5, — я их буду называть операционными числами, поскольку они определяют операции, которые может выполнять твоя машина. Пусть М—некоторое число, состоящее из цифр 3, 4 или 5, и пусть F — произвольная операция. Я буду говорить, что число М определяет операцию F, имея в виду, что для любых двух чисел X и Y, в случае если X порождает Y, число М(Х) порождает число F(Y). Например, если число X порождает число Y, то число 4Х порождает обращение числа Y (согласно правилу 3), и поэтому я буду говорить, что число 4 определяет или обозначает операцию обращения данного числа. Аналогичным образом в соответствии с правилом 4 число 5 определяет операцию повторения, а число 3 — операцию ассоциации, то есть операцию получения ассоциата данного числа. Далее, предположим, что F представляет собой операцию, которая, если ее выполнить над числом X, дает нам ассоциат повторения X. Другими словами, F(X) есть ассоциат повторения числа X. Существует ли число М, которое описывает эту операцию, и если да, то что это за число?

— Очевидно, 35,— ответил Мак-Каллох, — потому что если число X порождает число Y, то число 5Х порождает повторение числа У; значит, число 35X порождает ассоциат повторения У. Таким образом, число 35 обозначает операцию получения ассоциата повторения некоторого заданного числа X.

— Совершенно верно, — подтвердил Крейг. — А теперь, когда мы определили, каким образом число М представляет собой ту или иную операцию, мы будем называть эту операцию операцией М. Так, например, операция 4 будет операцией обращения, операция 5 представляет собой операцию повторения, операция 35 является операцией получения ассоциата повторения и так далее.

Вместе с тем возникает вопрос, — продолжал он, — возможно ли, чтобы два различных числа описывали одну и ту же операцию? Иначе, могут ли существовать операционные числа М и N, такие, что при М, не равном N, операция М оказывается тождественной операции N?

Мак-Каллох на мгновение задумался.

— Ну, конечно, — сказал он. — Ведь, например, числа 45 и 54 различны, однако они определяют собой одну и ту же операцию, поскольку обращение повторения некоторого числа есть то же самое, что и повторение его обращения.

— Правильно, — согласился Крейг, — хотя, по правде говоря, я имел в виду совсем другой пример. Прежде всего, какую операцию описывает число 44?

— Ну, это ясно, — ответил Мак-Каллох, — Операция 44, если ею подействовать на заданное число X, дает нам обращение обращения этого числа, то есть само X. Правда, я не знаю, как назвать такую операцию, которая при воздействии на число X дает нам само это число.

— В математике такая операция называется обычно операцией тождества, — продолжал свои объяснения Крейг, — и поэтому число 44 будет определять собой именно операцию тождества. Но ту же самую операцию будет определять и число 4444 или, например, любое другое число, составленное из четного количества четверок. Таким образом, существует бесконечно много чисел, описывающих подобную операцию. А вообще говоря, если задано некоторое операционное число М и если оно следует за четным количеством четверок или предшествует ему (или же имеет место и то и другое одновременно), то это число М описывает ту же самую операцию, что и само отдельно взятое М.

— Понятно, — кивнул Мак-Каллох.

— А теперь, — пояснил далее Крейг, — если нам заданно операционное число М и произвольное число X, то, чтобы обозначить результат воздействия операции М на число X, я буду просто писать М(Х). Например, число 3(Х) будет представлять собой ассоциат X, 4(Х) будет обращением числа X, 5(Х) окажется повторением числа X, а число 435(X) будет представлять собой вращение ассоциата повторения числа X. Понятны тебе эти обозначения?

— Вполне, — ответил Мак-Каллох.

— Надеюсь, теперь ты не будешь путать запись М(Х) с записью MX. Ведь первая из них обозначает результат воздействия операции М на число X, в то время как вторая утверждает лишь то, что за числом М следует число X, — а это совсем разные вещи! Например, запись 3(5) обозначает вовсе не 35, а 525.

— Это мне тоже понятно, — сказал Мак-Каллох. — Однако не может ли случиться так — хотя бы в силу чистой случайности, — чтобы число М(Х) совпадало с MX?

— Интересный вопрос, — ответил Крейг. — Мне нужно его обдумать!

— Может, сначала выпьем еще по чашечке чаю? — предложил Мак-Каллох.

— С удовольствием! — согласился Крейг.

Пока наши друзья наслаждаются чаем, мне хотелось бы предложить вам несколько занимательных задач с операционными числами. Они позволят читателям приобрести необходимый опыт в использовании обозначений типа М(Х), которые будут играть важную роль при дальнейшем изложении.

 

10. Ответом на последний (математический!) вопрос Мак-Каллоха будет «да»: действительно существуют операционное число М и некоторое число X, такие, что М(Х) = МХ. Не могли бы вы найти их?

11. Существует ли операционное число М, для которого М(М) = М?

12. Найти операционное число М и заданное число X, для которых М(Х) = ХХХ.

13. Найти операционное число М и число X, для которых М(Х) = М+2.

14. Найти М и X, для которых число М(Х) было бы повторением числа MX.

15. Найти операционные числа М и N, для которых M(N) оказалось бы повторением N(M).

16. Найти два различных операционных числа М и N, для которых M(N) = N(M).

17. Не могли бы вы отыскать два операционных числа М и N, для которых

18. Что можно сказать по поводу двух операционных чисел М и N, для которых M(N) = N(M) + 492?

19. Найти два различных операционных числа М и N, для которых выполняются условия M(N) = MМ и N(M) = NN.