Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:

Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

( × ) = ï ïï ïcosj

Свойства скалярного произведения:

1) ( × ) = ï ï²;

2) ( × ) = 0, если ^ или = 0 или = 0.

3) ( × ) =( × );

4) (; + ) = ( × )+( × );

5) (m ; ) =(;m ) = m( × ); m=const

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

( × ) =

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

 

Формула для нахождения проекции вектора на вектор:

 

Векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) вектор ортогонален векторам и

2) , и образуют правую тройку векторов.

3) , где j - угол между векторами и ,

Обозначается: или .

j

 

Свойства векторного произведения векторов:

1) ;

2) , если ïï или = 0 или = 0;

3)[ (m ) ]=[ (m )] = m[ ];

4) [ ( + )] = [ ]+ [ ];

5) Если заданы векторы: в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

[ ]=

 

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

 

 

Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .

Обозначается (, , ).

Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

 

 

 

 

Свойствасмешанного произведения:

 

1)Смешанное произведение равно нулю, если:

а) хоть один из векторов равен нулю;

б) два из векторов коллинеарны;

в) векторы компланарны.

2)

3)

4)

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен ;

треугольной призмы , четырехугольной пирамиды

6)Если ; , то

7)Если >0, то векторы образуют правую тройку, если <0, то левую.