Диаграмм движения толкателя кулачкового механизма

 

О.Ф.Васильева, Б.И.Гурьев

Расчет

Все формулы в этом пособии приведены для механизмов с поступательно движущимися толкателями.

Предполагается, что движение толкателя состоит из следующих фаз: ускоренного, равномерного и замедленного подъема (удаления от нижнего крайнего положения); выстоя в верхнем крайнем положении (или в положении наибольшего удаления); ускоренного, равномерного и замедленного опускания (приближения к нижнему крайнему положению); выстоя в нижнем крайнем положении. В соответствии с этим задают фазовые углы поворота кулачка:

- за время ускоренного подъема толкателя;

- за время равномерного подъема;

- за время замедленного подъема;

- за время верхнего выстоя;

- за время ускоренного опускания;

- за время равномерного опускания;

- за время замедленного опускания;

угол поворота кулачка за время пребывания толкателя в нижнем крайнем положении не задают, т.к.

.

Любой из углов , и может быть равен нулю.

Угол не может быть отрицательным, т.е.

.

.

Профиль кулачка должен быть спроектирован так, чтобы при заданной величине хода толкателя обеспечить требуемый закон его движения, который задают либо как функцию , либо как

,

где j - угол поворота кулачка с момента начала подъема толкателя;

- аналог ускорений толкателя;

- функция перемещений.

Обычно закон движения толкателя задают функцией , причем ее вид может быть различным для разных фаз неравномерного движения толкателя; функцию , необходимую для построения профиля кулачка, находят двукратным интегрированием аналога ускорений.

Удобно закон изменения аналога ускорений задавать для каждой фазы движения толкателя в виде

, (1)

где z - безразмерный параметр, линейно зависящий от угла поворота кулачка и изменяющийся в пределах каждой фазы движения от 0 до 1
(z =0- для начала фазы, z =1 - для конца). Если все фазы пронумеровать в порядке их следования (начиная с фазы ускоренного подъема), то для фазы с номером n связь между углом j и параметром z определится формулами:

; (2)

; (3)

здесь k, n - номера фаз;

- фазовые углы, соответствующие номерам k и n; например, , и т.д.;

- угол поворота кулачка к моменту начала рассматриваемой фазы; например, для фазы ускоренного опускания

.

Поскольку из (2) следует, что

,

то при двукратном интегрировании уравнения (1) получим:

; (4)

. (5)

Постоянные интегрирования и для каждой фазы движения толкателя определяются начальными условиями, характерными для начала или конца этой фазы.

Вид функции в уравнении (1) теоретически может быть любым; в данном пособии предусмотрено использование шести раз-личных функций, условно обозначаемых номерами от 1 до 6 и согласно которым модуль аналога ускорения в пределах каждой фазы (или соответствующего фазового угла) изменяется следующим образом (рисунок 1):

1 -	постоянен;	4 -	возрастает по закону синуса;
2 -	линейно возрастает;	5 -	убывает по закону косинуса;
3 -	линейно убывает;	6 -	изменяется по закону полувол-ны синусоиды.
Рисунок 1
Рисунок 2	Для каждой из четырех фаз неравномерного движения толка-теля, продолжительность которых обусловлена углами , , и , может быть задан любой из оговоренных выше законов; их конкретную комбинацию можно обо-значить четырехзначным числом, каждая цифра которого - номер закона для соответствующей фазы движения. Рассмотрим в качестве при-мера закон движения, обознача-емый числом 6341 и изображенный на рисунке 2. Цифры 6341 означают следующее: - при ускоренном подъеме толкателя аналог его ускорения положителен и сначала возрастает от нуля до максимальной величины

, а затем вновь убывает до нуля по закону полуволны синусоиды

; (6)

- при замедленном подъеме аналог ускорения толкателя отрицателен и его модуль убывает от максимального значения до нуля по линейному закону

; (7)

- при ускоренном опускании аналог ускорения толкателя отрица-телен и его модуль возрастает от нуля до по синусоидальному закону

; (8)

- при замедленном опускании аналог ускорения толкателя положителен, постоянен по величине и равен

. (9)

Дважды интегрируя уравнения (6) - (9), можно для всех фаз движения толкателя получить функции и , их диаграммы изображены на том же рисунке.

Отметим характерные параметры диаграмм движения:

- наибольшие значения величины модуля аналога ускорения , , и для cоответствующих фаз диаграммы ;

- наибольшие значения модуля аналога скорости толкателя при его подъеме - и опускании - (диаграмма );

- координаты конца толкателя в конце фазы: ускоренного подъема - ; равномерного подъема - (если =0, то = ); замедленного подъема - ; ускоренного опускания - ; равномерного опускания - (если =0, то = ); замедленного опускания - =0.

При заданных значениях фазовых углов , , , , величине хода толкателя и видах законов изменения аналогов ускорений указанные параметры диаграмм могут быть полностью определены либо в процессе интегрирования уравнений типа (1), либо с помощью известных квадратурных формул для вычисления площадей диаграмм и .

Как известно, параметры , , , , , =0 можно связать с площадями фигур диаграммы , а параметры и - с площадями диаграммы .

 

Пусть каждая из этих фигур имеет какой-то верти-кальный размер b (один из перечисленных выше пара-метров диаграммы или ), и горизонталь-ный - (какой-либо фазо-вый угол в радианах). Тогда для прямоугольной фигуры искомая площадь равна , для треугольной - ; для прочих фигур, встречающихся при обработке диаграмм опи-санных выше типов и изображенных на рисунке 3, аналогичные параметры имеют вид:

Рисунок 3

вогнутая парабола второй степени (рисунок 3, а)

;

выпуклая парабола второй степени (рисунок 3, б)

;

косинусоида или синусоида (рисунок 3, в)

;

синусоида (рисунки 3, г и д)

;

косинусоида или синусоида (рисунок 3, е)

.

Согласно сказанному, для закона движения 6341 ход толкателя H можно выразить как площадь под кривой для фазы подъема, или
для фазы опускания

;

тогда

; . (10)

Найдя величины и , можно с помощью графических приемов, показанных на рисунке 3, построить диаграмму для любого количества промежуточных точек.

Аналогичные квадратурные соотношения можно записать, выразив
величины и через площади под кривыми :

; .

Из этих выражений найдем требуемые параметры диаграм-
мы :

для фазы подъема

; ; (11)

для фазы опускания

; . (12)

По найденным значениям , , и , зная вид фигур диаграммы , можно ее построить, используя приемы, показанные на рисунке 3.

Параметры диаграммы найдем, вычисляя площади отдельных участков кривой ;

для фазы подъема: для фазы опускания:

; ; (13)

; ; (14)

; ; (15)

последние равенства в каждом столбце являются проверочными и их можно не использовать.

Для построения кривых, составляющих диаграмму , обычно не находится таких удобных графических приемов, как изображенные на рисунке 3 и их приходится строить, рассчитывая значения ординат по формулам, являющимся интегралами уравнений типа (1). Процесс вывода подобных зависимостей можно показать на примере закона движения 6341 (рисунок 2).

Фаза ускоренного подъема. Интегрируя уравнение (6), получим:

для аналога скоростей

;

поскольку при имеем , то и следовательно

; (16)

для перемещений

;

т.к. при перемещение , то ; учитывая, кроме того, что , получаем функцию перемещений

. (17)

Фаза равномерного подъема. Для этой фазы

; ; .

Фаза замедленного подъема. Интегрируя уравнение (7), получим:

для аналога скоростей

;

из начальных условий - , (т.е. ) и равенства получаем

; (18)

для диаграммы перемещений

;

поскольку при имеем и при этом , то ; следовательно уравнение перемещений

. (19)

Фаза верхнего положения толкателя интереса не представляет, поскольку в этот период движения механизма его толкатель неподвижен и

; ; .

Фаза ускоренного опускания. Движение толкателя описывается уравнением (8), интегрируя которое, получим:

для аналога скоростей

;

при имеем , следовательно и тогда закон изменения аналога скоростей

; (20)

для диаграммы перемещений

;

начальное условие - , , следовательно ; поскольку , то уравнение диаграммы перемещений

. (21)

Фаза равномерного опускания. Для этой фазы

; ; .

Фаза замедленного опускания. Интегрируем уравнение (9):

для аналога скоростей

;

начальные условия - , , поэтому и закон изменения аналога скоростей

; (22)

тот же результат можно получить, рассматривая начальные условия при и .

Для диаграммы перемещений

;

поскольку при имеем (т.е. ) и при этом , то уравнение перемещений

. (23)