Преобразование чисел

Такое представление чисел обозначает вот такое число: , где — цифры, а — основание системы счисления.

Посмотрим чему равны числа из примеров. Используем только что приведённую формулу:

• ;
• ;
• ;
• .

Мы разобрали, как узнать, чему равно число в любой системе счисления. Но как нам получить это число? Представим что у нас есть некоторое число , и мы хотим получить его представление в системе по основанию . Как нам это сделать?

Мы знаем, что число можно представить в виде , будем из этого исходить. Что будет, если мы поделим это число на . Получим

и остаток от деления . Почему ? Все члены суммы делятся на без остатка, а последний член в результате деления даёт и в остатке, так как максимальное значение цифры всегда на единичку меньше основания системы. Итак мы получили самую правую цифру , как остаток от деления, и число , как результат деления числа на . Если мы так будем продолжать делить, то получим все цифры .

Возьмём для примера полюбившееся нам число и получим представление этого числа в двоичной системе счисления:

• , остаток ;
• , остаток ;
• , остаток ;
• , остаток ;
• , остаток .

Что и следовало ожидать, получили: .

Представим число 25 в троичной системе счисления:

• , остаток ;
• , остаток ;
• , остаток .

Получили число: .

Для закрепления наших знаний проделаем вычисления для восьмеричной и десятичной систем счисления.

Восьмеричная система счисления:

• , остаток ;
• , остаток .

Результат: .

Десятичная система счисления:

• , остаток ;
• , остаток .

Результат: .

Чтобы ещё лучше понять перевод в различные системы счислений, посмотрим, какие трансформации происходят внутри числа .

Представим это число в виде

.

Посмотрим, что у нас получится при последовательном делении на :

• делим на , получаем и в остатке;
• делим ещё раз на , получаем и в остатке;
• и ещё раз делим на , получаем и в остатке;
• делим в последний раз на , получаем и в остатке.