Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Условия устойчивости явной разностной схемы





Для того чтобы решение по явной разностной схеме было устойчиво, необходимо выбирать интервалы дискретизации из следующего условия:

.

Конечно-разностная схема называется устойчивой, если погрешности, допущенные в процессе вычислений, затухают или остаются малыми при увеличении номера текущего слоя. Рассмотрим условия устойчивости явной разностной системы на примере уравнения диффузии:

.

Будем искать решение в следующем виде.

где А – const, f= – w2, .

Отметим, что eiwx=cos(wx)+i×sin(wx), т. е. физически решением уравнения являются функции, которые представляют собой волны, графиком которых являются кривые (гармоники), затухающие при t®¥.

Рассмотрим конечно-разностные уравнения, аппроксимирующие исходное дифференциальное уравнение.

.

Очевидно, что затухание гармоник во времени должно иметь место и для разностного уравнения.

Решение данного уравнения будем искать в виде:

,

где: tn=(n-1)Dt,

xk=(k-1)Dx.

Если положить

, то

.

Следовательно, при происходит затухание гармоники во времени, т. е. процесс решения устойчив. Если êSê>1, то происходит потеря устойчивости решения. Для конечно-разностного уравнения, подставив формулу предполагаемого решения, получим:

Разделим левую и правую части уравнения на:

G=ASn-1eiw(k-1)Dx, получим:

.

Рассмотрим

следовательно,

,

.

Для устойчивости вычислительной схемы достаточно потребовать, чтобы êSê£ 1, т. е.

Правое неравенство выполняется всегда.

.

 

Рассмотрим случай, когда sin принимает максимально возможное значение – 1:

Для получения устойчивого решения уравнения, сначала задаются одним из параметров (например, величиной ) и затем, исходя из полученного условия определяется величина другого значения Dt.






Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 215. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.005 сек.) русская версия | украинская версия