Задача 1.

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 585

В господарстві можна скомплектувати один агрегат МТЗ-80 + СТТ-10 і два агрегати Т-40М + МВУ-0,5. Необхідно внести мінеральні добрива на площі F = 250 га за D = 3 дні, забезпечивши витрату палива (Q) не більше 300 л і мінімум експлуатаційних затрат. В розрахунках прийняти тривалість часу зміни Тзм = 7 год і коефіцієнт змінності Кзм = 1.

Порядок вирішення задачі

1. Критерій оптимізації встановлено умовами задачі, тобто це експлуатаційні витрати.

2. Необхідну техніко-економічну інформацію (норми виробітку і витрати палива, експлуатаційні витрати) візьмемо з довідників [3] і [4]. Показники роботи агрегатів для внесення мінеральних добрив наведені в табл. 1.1.

Таблиця 8.1

Показники роботи агрегатів для внесення мінеральних добрив

3. Складаємо рівняння функції цілі - мінімуму прямих експлуатаційних затрат за формулою (8.1):

Z = 1,20∙ X₁ + 0,90∙X₂ → min (8.6)

4. Складаємо рівняння обмежень за формулами (8.2), (8.3), (8.4):

- площа обробітку дорівнює 250 га

Х₁ +Х₂ = 250; (8.7)

- витрата пального не більше 300 л

1,41∙Х₁ + 1,00∙Х₂ ≤ 300; (8.8)

- тривалість роботи агрегату МТЗ-80 + СТТ-10 за агротехнічний строк не більше Т₁ = 3∙7∙1,0 = 21 год. Тривалість роботи обчислюємо діленням площі обробітку на продуктивність агрегату за годину.

≤ 21; (8.9)

- тривалість роботи 2 агрегатів Т-40М + МВУ-0,5 за агротехнічний строк не більше Т₂ = 2∙3∙7∙1,0 = 42 г

≤ 42. (8.10)

5. Складемо рівняння невід’ємності змінних за виразом (8.5):

Х₁ ≥ 0;

Х₂ ≥ 0

6. В задачі, що розглядається, в наявності дві незалежних змінних (два агрегати). Тому вибираємо графічний метод її розв’язання. Будуємо рівняння обмежень.

Рис. 8.1. Графічний розв’язок лінійної задачі 1

На рис.1 зображено графічний метод розв’язання цієї задачі.

Для побудови рівняння обмежень 1 необхідно у формулу (8.7) підставити Х₁ = 0. Тоді Х₂ = 250. Відповідно для визначення Х₁ необхідно підставити Х₂ = 0.

Аналогічними підстановками у формули (8.1)…(8.10) визначаємо точки перетину з координатними осями і будуємо рівняння обмежень 2…4.

На малюнку лінії перетину рівнянь обмежень утворили замкнену область (трикутник abc), яка і буде областю допустимих рішень.

Оптимальне рішення знаходимо побудувавши цільову функцію (рівняння (1.6)) для будь-якого значення Z (наприклад, приймемо Z = 120). Визначення коефіцієнтів і побудову функції виконуємо так, як і для рівнянь обмежень.

Потім здійснюємо плоскопаралельне переміщення рівняння цільової функції до тієї точки області допустимих рішень (трикутник аbc), в якій значення цільової функції буде мінімальним.

На графіку це буде точка а, в якій:

Х₁ = 77,9 га; Х₂ = 172,1 га; Zmin = 241,4 грн.; Q = 211,9 л; Т₁ = 12 год; Т₂ = 42 год.

Таким чином, агрегат МТЗ-80 + ССТ-10 буде працювати неповні 2 зміни, а два агрегати Т-40М + МВУ-0,5 – по три зміни.

Варіанти задачі 1 для самостійної роботи.

1. При тих же обмеженнях мінімізувати затрати праці на внесенні мінеральних добрив.

2. Мінімізувати експлуатаційні затрати без обмеження на витрату пального.

Задача 2.

В господарстві необхідно за 10 днів виорати 150 га, засіяти зерновими 600 га і посадити 120 га картоплі. На виконанні цих робіт планується використати 2 трактори ДТ-75М і 4 трактори МТЗ-10 з відповідним набором сільськогосподарських машин. Продуктивність (Wij) і експлуатаційні витрати за годину роботи МТА (Sij) наведені в таблиці 8.2.

Необхідно так розподілити обсяги роботи за тракторними агрегатами, щоб експлуатаційні витрати були мінімальними.

Таблиця 8.2

Вихідні дані до задачі № 2

Складемо математичну модель задачі.

1. Незалежними змінними в задачі будуть площі обробітку кожним МТА. Тоді цільовою функцією буде сума затрат кожного МТА на кожній роботі:

Z = ∑Sij∙Fij = 3,7Х₁₁+4,0Х₁₂+1,4Х₂₁+1,1Х₂₂+3,1Х₃₂→min

2. Функціональними обмеженнями будуть:

- площа оранки Х₁₁ + Х₁₂ = 150;

- площа сівби Х₂₁ + Х₂₂ = 600;

- площа садіння картоплі Х₃₂ = 120;

-тривалість роботи 2 тракторів ДТ-75М не більше 200 годин (2∙10∙7∙1,43 = 200год ) Х₁₁ + 0,25Х₂₁ ≤ 200;

- тривалість роботи 4 тракторів МТЗ-80 не більше 400 годин (4∙10∙7∙1,43 = 400 год)

2Х₁₂ + 0,5Х₂₂ + 1,25Х₃₂ ≤ 400.

3. Обмеження невід’ємності змінних:

Хij ≥ 0 i = 1, 2, 3; j = 1, 2.

4. Таким чином, в даній задачі є 5 незалежних змінних і 5 функціональних обмежень (матриця 5´5, п’ять строчок на п’ять стовпчиків). Таку задачу можна розв’язати симплексним методом і без застосування ЕОМ, але розрахунковий процес є ітераційним і досить громіздким. Розв’яжемо задачу на ПЕОМ за допомогою програми lin11.bas, складеної на мові високого рівня – на Бейсику.

Порядок набору і вирішення задачі на ПЕОМ

1. Ввійти в Бейсик, для чого у відповідній директорії виділити курсором файл qwbasik.exe i натиснути на клавішу Enter.

2. Натиснути на функціональну клавішу F3. Після того, як з’явиться слово load(прочитати), слід набрати за допомогою клавіатури ім’я файлу lin11.bas.

3. Натиснути клавішу F1 (листати) і потім Enter. На екрані дисплея пробіжить вся програма розрахунку.

4. Підвести курсор до строчки за номером 3020 після команди DATA, набрати коефіцієнти першого рівняння обмежень 1,1,0,0,0,”=”,150 і натиснути Enter.

5. У строчці 3030 набрати коефіцієнти другого рівняння обмежень 0,0,1,1,0,”=”,600 і натиснути Enter.

6. Далі набрати коефіцієнти третього рівняння обмежень 0,0,0,0,1,”=”,120 четвертого 1,0,0.25,0,0,”<”,200 і п’ятого 0,2,0,0.5,1.25,”<”,400

7. В строчці 3310 (функціонал) набрати коефіцієнти цільової функції 3.7,4,1.4,1.1,3.1

8. Далі необхідно видалити в програмі командні строчки, які не будуть використовуватись при розв’язанні даної залачі. Для видалення командної строчки слід в кінці програми після слова OK набрати номер строчки (наприклад, 3070) і натиснути клавішу Enter, потім номер іншої строчки і знову натиснути Enter.

9. Введення вхідної інформації закінчено. Приступаємо до розв’язання задачі. Необхідно натиснути функціональну клавішу F3. Після того, як на екрані з’явиться команда RUN (виконати), слід натиснути клавішу Enter і вести діалог з комп’ютером відповідаючи на його запитання набором на клавіатурі. Після кожної відповіді на запитання слід натискати клавішу Enter.

На запитання про розмірність матриці необхідно набрати в даному випадку 5,5 (обов’язково в одній строчці і через кому). На інші запитання відповідайте набором 0, -1 чи 1.

10. Результати розрахунків записати в зошит, проаналізувати і зробити висновки.

При розв’язанні даної задачі ми одержали такі результати. Тракторами ДТ-75М слід виорати всю площу (Х₁₁ = 150) і засіяти зерновими 100 га (Х₂₁ = 100), а тракторами МТЗ-80 посіяти 500 га зернових (Х₂₂ = 500) і посадити картоплю на всій площі (Х₃₂ = 120). При цьому фонд робочого часу тракторів МТЗ-80 використовується повністю, а тракторів ДТ-75М - недовикористовується на 25 годин (вільний член дорівнює 25). Тобто в цей період трактори ДТ-75М можуть бути використані на інших роботах. Експлуатаційні витрати на виконання робіт при такому розподілі техніки будуть мінімальними і складуть 1701 грн.

11. Для виходу з програми, написаної на Бейсику, слід набрати команду SYSTEM.

Задача 3(для самостійної роботи).

В господарстві за 5 робочих днів необхідно вивезти 1000 т гною і перевезти із залізничної станції 120 т мінеральних добрив. Для транспортування вантажів на цей період виділено 4 автомобілі ГАЗ-53Б, автомобіль ЗІЛ-130 і 6 тракторно-транспортних агрегатів МТЗ-10+2ПТС-4М. Тривалість робочої зміни становить 1 годин. Годинна продуктивність і експлуатаційні витрати наведені в табл.8.3. Скласти план перевезень, який би забезпечив мінімум експлуатаційних затрат.

Таблиця 8.3

Техніко-економічні показники транспортних агрегатів

Необхідно підготовити вихідні дані (скласти рівняння цільової функції і обмежень) в звичайній і матричній формі для розв’язання на ПЕОМ.

Контрольні запитання

1. Які існують методи лінійного програмування?

2. Назвіть необхідні і достатні елементи оптимізаційної моделі.

3. Назвіть вимоги до лінійноі оптимізаційної моделі.

4. Який порядок вирішення задачі графічним методом лінійного програмування?

5. Які критерії можуть використовуватись в цільовій функції?

6. Що означає матриця 7´4 ?