Движение по окружности. Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое перемещение Δ φ (или угол поворота), измеряемое в радианах (рис. 1.6.1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением

Δ l = R Δ φ.

При малых углах поворота Δ l ≈ Δ s.

Рисунок 1.6.1. Линейное и угловое перемещения при движении тела по окружности.

Угловой скоростью ω тел в данной точке круговой траектории называют предел (при Δ t → 0) отношения малого углового перемещения Δ φ к малому промежутку времени Δ t:

Угловая скорость измеряется в рад/с.

Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω:

υ = ω R.

При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора

Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение

направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным или центростремительным ускорением. Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями:

Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости за малый промежуток времени Δ t. По определению ускорения

Векторы скоростей и в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы υ _A = υ _B = υ.

Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 1.6.2) следует:

 

Рисунок 1.6.2. Центростремительное ускорение тела при равномерном движении по окружности.

При малых значениях угла Δ φ = ω Δ t расстояние | AB | =Δ s ≈ υ Δ t. Так как | OA | = R и | CD | = Δ υ, из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем:

При малых углах Δ φ направление вектора приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δ t → 0, получим:

При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным.

В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде

где – радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в ее центре.

Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная (или тангенциальная) составляющая ускорения (см. §1.1):

В этой формуле Δ υ _τ = υ ₂ – υ ₁ – изменение модуля скорости за промежуток времени Δ t.

Направление вектора полного ускорения определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 1.6.3).

Рисунок 1.6.3. Составляющие ускорения и при неравномерном движении тела по окружности.

Движение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат x и y (плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две составляющие υ _x и υ _y (рис. 1.6.4).

При равномерном вращении тела величины x, y, υ _x, υ _y будут периодически изменяться во времени по гармоническому закону с периодом

 

Рисунок 1.6.4. Разложение вектора скорости по координатным осям.

Глава 1. Механика