Импульс тела

Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δ t действовала сила Под действием этой силы скорость тела изменилась на Следовательно, в течение времени Δ t тело двигалось с ускорением

Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует:

Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела (или количеством движения). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы. Импульс силы также является векторной величиной.

Второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом: изменение импульса тела (количества движения) равно импульсу силы.

Обозначив импульс тела буквой второй закон Ньютона можно записать в виде

Именно в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон. Сила в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси:

F xΔ t = Δ p x; F yΔ t = Δ p y; F zΔ t = Δ p z

Таким образом, изменение проекции импульса тела на любую из трех взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось. Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, т. е. движение тела по одной из координатных осей (например, оси OY). Пусть тело свободно падает с начальной скоростью υ ₀ под действием силы тяжести; время падения равно t. Направим ось OY вертикально вниз. Импульс силы тяжести F _т = mg за время t равен mgt. Этот импульс равен изменению импульса тела

F т t = mgt = Δ p = m (υ – υ 0), откуда υ = υ 0 + gt.

Этот простой результат совпадает с кинематической формулой для скорости равноускоренного движения. В этом примере сила оставалась неизменной по модулю на всем интервале времени t. Если сила изменяется по величине, то в выражение для импульса силы нужно подставлять среднее значение силы F _ср на промежутке времени ее действия. Рис. 1.16.1 иллюстрирует метод определения импульса силы, зависящей от времени.

Рисунок 1.16.1. Вычисление импульса силы по графику зависимости F (t).

Выберем на оси времени малый интервал Δ t, в течение которого сила F (t) практически остается неизменной. Импульс силы F (t)Δ t за время Δ t будет равен площади заштрихованного столбика. Если всю ось времени на интервале от 0 до t разбить на малые интервалы Δ t _i, а затем просуммировать импульсы силы на всех интервалах Δ t _i, то суммарный импульс силы окажется равным площади, которую образует ступенчатая кривая с осью времени. В пределе (Δ t _i → 0) эта площадь равна площади, ограниченной графиком F (t) и осью t. Этот метод определения импульса силы по графику F (t) является общим и применим для любых законов изменения силы со временем. Математически задача сводится к интегрированию функции F (t) на интервале [0; t ].

Импульс силы, график которой представлен на рис. 1.16.1, на интервале от t ₁ = 0 с до t ₂ = 10 с равен:

В этом простом примере

В некоторых случаях среднюю силу F _ср можно определить, если известно время ее действия и сообщенный телу импульс. Например, сильный удар футболиста по мячу массой 0, 415 кг может сообщить ему скорость υ = 30 м/с. Время удара приблизительно равно 8·10^–3 с.

Импульс p, приобретенный мячом в результате удара есть:

p = m υ = 12, 5 кг·м/с.

Следовательно, средняя сила F _ср, с которой нога футболиста действовала на мяч во время удара, есть:

Это очень большая сила. Она приблизительно равна весу тела массой 160 кг.

Если движение тела во время действия силы происходило по некоторой криволинейной траектории, то начальный и конечный импульсы тела могут отличаться не только по модулю, но и по направлению. В этом случае для определения изменения импульса удобно использовать диаграмму импульсов, на которой изображаются вектора и , а также вектор построенный по правилу параллелограмма. В качестве примера на рис. 1.16.2 изображена диаграмма импульсов для мяча, отскакивающего от шероховатой стенки. Мяч массой m налетел на стенку со скоростью под углом α к нормали (ось OX) и отскочил от нее со скоростью под углом β. Во время контакта со стеной на мяч действовала некоторая сила направление которой совпадает с направлением вектора

Рисунок 1.16.2. Отскок мяча от шероховатой стенки и диаграмма импульсов.

При нормальном падении мяча массой m на упругую стенку со скоростью после отскока мяч будет иметь скорость Следовательно, изменение импульса мяча за время отскока равно В проекциях на ось OX этот результат можно записать в скалярной форме Δ p _x = –2 m υ _x. Ось OX направлена от стенки (как на рис. 1.16.2), поэтому υ _x < 0 и Δ p _x > 0. Следовательно, модуль Δ p изменения импульса связан с модулем υ скорости мяча соотношением Δ p = 2 m υ.