Уравнение Рейнольдса для смазочного слоя

Схема на рис.16.1 представляет задачу о вычислении несущей способности клиновидного слоя смазки вязкостью μ. Ламинарное течение жидкости в клиновом зазоре вызвано движением со скоростью U горизонтальной твердой плоскости относительно неподвижной пластины. Пластина единичной ширины расположена под малым углом к оси Х и образует величины зазоров h ₁ и h ₀ на входе и выходе из слоя смазки. Вертикальная ось У размещена на выходе из клинового зазора, длиной а. На схеме обозначены эпюры распределения давлений Р(х) и скоростей V (_X, y) жидкости в пределах смазочного клина.

Рассматриваемая схема соответствует течению в подпятниках и подшипниках скольжения и разъясняет механизм формирования несущей способности смазочного слоя.

1. Геометрия течения описывается зависимостью высоты смазочного слоя от координаты Х:

 

h (х) = h ₀ (1+ β х), (16.1)

 

где β = (h ₁ - h ₀)/ а h ₀ = (к-1)/а.

2. Выделяя в зазоре бесконечно малый объем жидкости 1 dхdy, на который действуют силы распределенного по длине Х давления Р(х) и силы вязкого трения τ (х, у), запишем уравнение движения. Поскольку движение частиц жидкости происходит практически без ускорения и только вдоль оси Х то это уравнение отражает равенство нулю суммы проекций сил на ось Х:

Р(х) 1 dy - [ Р(х) +(dР / dx) dx ]1 dy + [τ +(d τ / dy) dy ] 1 dх - τ 1 dх = 0,

 

или: - dР(х) / dx + (d τ / dy) dy =0. (16.2)

 

Согласно закону вязкого трения: τ (х, у) = μ dV (_X, y)/ dy и 16.2 приобретает вид:

 

dР(х) / dx = μ d ² V (х, _, y)/ dy ²).(16.3)

 

В этом уравнении учитывается сложное распределение скоростей частиц жидкости в масляном клине, поэтому V (_X, y) записывается как функция обеих координат.

 

 

 

3. Вычислим функцию V (_X, y) дважды интегрируя 16.3 по переменной у с учетом граничных условий V (_X, y) = - U при у =0 и V (_X, y) = 0 при у = h (х).

 

V (_X, y)= (dР / dx) y ²/2μ + С ₁ y + С ₂,

При этом:

 

С ₂= - U, С ₁ = U / h (х) - [(dР / dx)] h (х)/2μ.

 

Распределение скоростей в масляном клине в явном виде зависит от координаты У, а от Х неявночерез градиент давления dР / dx) и h (х):

 

V (_X, y) = (dР / dx) y ²/2μ + { U / h (х) - [(dР / dx)] h (х) / 2μ } y – U. (16.4)

 

4. Для определения dР / dx воспользуемся уравнением сохранения массы и вычислим объемный расход жидкости в клине Q путем интегрирования 16.4 по у от нуля до h (х):

 

Q(х)= V (_X, y) dy = h ³(х) (dР / dx)/6μ +{ U / h (х) - h (х)[(dР / dx)]/2μ }0, 5 h ²(х) - U h (х)=

= - 0, 5 U h (х) – h ³(х)[(dР) / dx)]/12 μ = С₃ = Const= - 0, 5 U h ^*. (16.5)

 

Из очевидного постоянства Q(х) следует его равенство С ₃ = - 0, 5 U h ^*, где h ^* - высота клина при координате Х= Х_МАХ, где эпюра давления имеет максимум, т.е. dР(х) / dx =0.

5. Производная dР(х) / dx, как это следует из 16.5 равна:

 

dР(х) / dx = 6μ U [ h ^{* -} h (х)]/ h ³(х),

 

а для заданной геометрии масляного клина выражается через 16.1 в явном виде и называется уравнением Рейнольдса:

 

dР(х) / dx = 6μ U β (Х_МАХ - Х)/ h ³₀ (1 + β Х)³. (16.6)

 

6. Получаемая интегрированием 16.6 функция Р(х):

 

Р(х) = (6μ U β / h ³₀) ∫ (Х_МАХ - Х)/ (1 + β Х)³ dx + С ₄. (16.7)

 

содержит две постоянные - Х_МАХ и С ₄. Определяя последние через 2 граничных условия: Р(х) =0 при Х= 0 и Х=а, после вычислений и преобразований имеем:

 

С ₄= 6μ U β (β Х_МАХ - 1) / 2 β ² h ²₀), Х_МАХ = а/ (к - 1), (16.8)

 

Р(х) = [6μ U α / h ²₀] Х (к - 1)(а- Х) / (к + 1) [ а + Х (к - 1)]². (16.9)

 

Зная закон распределения давления Р(х) легко получить координату центра давления.

7. Грузоподъемность смазочного клина единичной ширины G вычисляется интегрированием 16.9 в пределах от 0 до а:

 

G = - Р(х) dx = [6μ U α /(к - 1)² h ²₀] [ - ln к + 2 (к - 1)/ (к + 1)]. (16.10)

 

 

Исследуя полученную функцию, нетрудно видеть, что предельное значение грузоподъемности при заданных μ, U и геометрии (β, к) определяется величиной h ₀. Режим жидкостной смазки возможен только при h ₀ большей, чем удвоенная высота профиля шероховатостей поверхностей пяты и подпятника. Это лимитирует грузоподъемность устройства.

Практика инженерных расчетов опор скольжения использует более сложные расчетные схемы. учитывающие конечность поперечных размеров, кривизну поверхностей, тепловыделение и т.д.