Теорема Жуковского о подъемной силе одиночного профиляДля определения сил взаимодействия лопастей с обтекающим решетку потоком полезно рассмотреть простой случай обтекания одиночного профиля плоскопараллельным потоком идеальной жидкости. На рис. 14.1 представлена схема обтекания пластины длиной L потоком жидкости со скоростью W 0 и плотностью ρ. Равнодействующая распределенных по пластине единичной ширины сил давления - F, отклоняющих поток от направления W 0 к W 1, представлена как сумма проекций на оси х и у. Массовый расход М частиц, подвергающихся возмущению, определяется углом атаки γ: М = ρ W 0 1 L Sin γ. (14.1)
Применение теоремы об изменении количества движения системы материальных точек (теоремы импульсов) дает возможность рассчитать величины FХ и F У:
- проекция на ось х: МW 1 Cos γ - М W 0 = - F Х,
- проекция на ось у: МW 1 Sin γ - 0 = F У.
Полагая в первом приближении равенство скоростей W 1 и W 0 имеем:
F Х = ρ W20 1 L (1- Cos γ) Sin γ, (14.2)
F У = ρ W20 1 L Sin 2 γ. (14.3)
Существенные качественные и количественные отклонения результатов расчета по 14.2 и 14.3 от измеряемых значений FХ и F У снимаются введением в эти формулы опытных аэродинамических коэффициентов СХ (W0 , γ) и СУ (W0 , γ). Таким образом, вышеизложенная методика дает только набор параметров, описывающих процесс, и в некоторой степени структуру расчетных зависимостей. Основные причины несоответствия очевидны и вытекают из неверного представления о текучей среде как совокупности невзаимодействующих между собой частиц. Действительно, в создании подъемной силы F У и силы лобового сопротивления F Х участвуют не только верхняя, но и нижняя поверхность, а равенство скоростей W 1 и W 0 неочевидно, расчет М по формуле 14.1 вызывает сомнения и т.д. Кроме этого методика расчета не объясняет наличия F У в случае горизонтального, выпуклого сверху профиля типа крыла птиц, когда Sin γ = 0. Следуя Жуковскому, рассмотрим задачу обтекания профиля в более корректной постановке, изображенной на рис. 14.2. Возмущающая поток сила F распространяет свое влияние на массу жидкости, заключенную внутри контрольной поверхности радиуса r, ограниченной единичной длиной в направлении оси z, совпадающей с осью профиля. На выделенный объем жидкости кроме силы F оказывают силовое воздействие распределенные по цилиндрической поверхности силы давления окружающей среды.
При произвольном значении угла α выделим элементарную площадку dl=r d α, на которую действует зависящее от α давление Р( α), а скорость возмущенного потока в центре площадки обозначим вектором W (α).
Проекции на оси x и у всех сил, действующих на выделенную массу, записываются при интегрировании распределенных сил давления:
- F Х - F y - Проекции изменений количества движения на оси х и у вычисляются интегрированием по углу α от 0 до 2π произведения скоростей U (α) или V (α) на элементарный расход dM (α) через выделенное живое сечение 1 dl на контрольной поверхности:
Для вычисления подъемной силы FУ используем теорему импульсов приравняем 14.5 к 14.7 и учтем, что при любых α V 2 = W 2 – U 2:
= =
В соотношении 14.8 W τ (α)=(Vcos α – USin α ) –проекция скорости потока на касательную к цилиндрической контрольной поверхности. Выполним анализ 14.8, учитывая произвольность величины r, который можно принять достаточно большим. При таком допущении возмущениями потока на контрольной поверхности можно пренебречь, т.е. в интегралах левой и правой частях положить Р (α)= Р 0= Const и U (α)→ W (α)→ W 0≈ Const. Это приводит к нулевым значениям интеграла правой части 14.8 и первого слагаемого левой. В результате расчет F У сводится к вычислению интеграла: F У = Из формулы Жуковского следует, что если при обтекании профиля возникает циркуляция вектора скорости по замкнутому контуру – Г (гамма), то в создании подъемной силы участвуют большие массы жидкости в окрестностях профиля. Сила действия потока на профиль равна F У и противоположна ей по направлению. Для формирования Г при обтекании цилиндра радиусом R достаточно цилиндр вращать c угловой скоростью ω. Возникающая в этом случае подъемная сила, приложенная к цилиндру, (эффект Магнуса) соответствует величине Г=2π R ω (рис. 14.3, а). Обтекание несимметричного крылового профиля формирует подъемную силу F У даже при нулевых углах атаки за счет более высоких скоростей течения на выпуклой стороной профиля по сравнению с плоской нижней. В этом случае можно иметь высокое значение F У при минимальном лобовом сопротивлениии F Х.
Применительно к течению в решетке профилей осевого насоса (см. рис. 14.4) для каждой лопасти циркуляция вектора скорости Г, т.е. интеграл по контуру 1-2-3-4 легко вычисляется по известному шагу t и величинам W 2 u, W 1 u. При обходе лопасти, как указано на рисунке стрелками, величина Г складывается из двух слагаемых, соответствующих участкам 1-2 и 3-4:
Г= t W 2 u - t W 1 u = t (W 2 u - W 1 u) (14, 10)
Расчет циркуляции для лопасти направляющего аппарата дает величину циркуляции:
ГНА= t НА С 4 У + t НА С 3 У = t НА С 3 У . (14, 11)
Теорема Жуковского служит теоретической базой для инженерных методик расчета осевых насосов. При этом широко использоваются экспериментальные данные полученные на испытаниях насосных агрегатов и продувке решеток.
|
, (14.4)
, ( 14.5) 
, (14.6)
. (14.7)
1 (V2 Sin α + UV Cos α) d α =
1(W2Sin α – U 2 Sin α + UVCos α) d α = 
(α) dl =1ρ W 0 Г. (14.9)
