Преобразование измерительных сигналов

К числу основных операций преобразования относятся: квантование, дискретизация, восстановление, сравнение, функциональное изменение, фильтрация, модуляция, детектирование и запоминание.

5.1 Квантование сигнала

Преобразование непрерывного сигнала в дискретный, состоящий из множества квантов, называется квантованием по уровню.

При квантовании по уровню диапазон возможных изменений (0, Т) функции x(t) разбивается на n одинаковых или разных по величине интервалов квантования. При квантовании любое значение х, лежащее в интервале (, ) округляется до некоторой величины , называемой уровнем квантования.

 

Рис.. Квантование сигнала

(i=1, 2, … n)

 

Уровень квантования как функцию времени можно представлять как произведение единичной функции

на масштаб , т.е.

При замене истинных значений функции x(t) квантованными значениями возникает погрешность , которая определяется свойствами сигнала и характером квантования (т.е. равномерное или неравномерное квантование). Оценим погрешность квантования для равномерного квантования по уровню

Наибольшая погрешность

будет минимальна при заданном n квантов, если =const и . При этих условиях

т.е. наибольшая погрешность не превышает половины интервала квантования. Следовательно, для уменьшения погрешности необходимо уменьшать интервал квантования.

В том случае, если мы имеем дело со случайной функцией, т.е. входной сигнал есть случайная функция, то и погрешность квантования будет случайной.

В связи с этим следует оценить ее математическое ожидание:

(1)

и дисперсию

(2)

где P(x) — плотность распределения погрешности, принимаемая такой же, как и для сигнала.

Для большого числа квантов n плотность распределения вероятности Р(х) внутри ступени квантования практически постоянная, поэтому в выражениях (1) и (2) ее можно вынести за знаки интегралов. Вычисление интеграла (1) показывает, что если соответствует середине интервала квантования, то =0.

Для дисперсии находим

Если учесть изменение сигнала во всем диапазоне (0, Т), то для дисперсии можно написать

.

Если случайная функция является нормальной в диапазоне (0, Т), т.е.

,

то дисперсия определится как

.

Среднее квадратическое отклонение

где n — число уровней квантования

Отсюда при заданной погрешности σ можно определить число n уровней квантования

Полученные выражения справедливы для равномерного квантования. Следовательно, уменьшение погрешности от квантования достигается увеличением ступеней квантования.

Более детальные исследования показывают, что с точки зрения уменьшения средней квадратической погрешности более выгодно неравномерное квантование, хотя техническая реализация его более сложна.

5.2 Дискретизация и восстановление сигнала

Дискретизация состоит в замене непрерывной по аргументу функции х(t) функцией дискретного аргумента

Рис.. Дискретизация сигнала

Шагом дискретизации называется промежуток между соседними значениями аргумента (например, промежуток времени).

Дискретный сигнал как функция времени может быть представлен выражением

где δ — дельта функция Дирака.

Дискретизация может быть равномерной, когда =const и неравномерной, когда имеет переменное значение. Реализация процесса дискретизации осуществляется, например, путем пропускания непрерывного сигнала х(t) через ключ, замыкаемый на очень короткое время в моменты (i=1, 2, …).

В полупроводниковой технике вместо ключа используют коммутаторы. При этом реализуется совокупность мгновенных значений . По этим мгновенным значениям можно восстановить исходную функцию х(t) с необходимой точностью. При восстановлении первичного сигнала из дискретизированного необходимо по известным мгновенным значениям в известные моменты времени, следующие при равномерной дискретизации через равные интервалы , определить все промежуточные значения этого сигнала аппроксимацией путем интерполяции или экстраполяции, для которых, как известно, создан весьма обширный математический аппарат.

При интерполяции или экстраполяции необходимо, прежде всего, предварительно подобрать для данного участка сигнала восстанавливающую базисную функцию y(t). При этом восстанавливаемый сигнал обычно выражается суммой базисных функций, т.е. y(t) есть сумма некоторых функций φ (t)

где — коэффициенты ряда.

Коэффициенты ряда и базисные функции могут выбираться на основе различных критериев, например, по минимуму средней квадратической погрешности или по критерию совпадения значений восстанавливаемого непрерывного сигнала с мгновенными значениями дискретизированного сигнала.

Естественно, что базисные функции подбираются, прежде всего, из условий наибольшей простоты их реализации. Желательно также, чтобы для простоты реализации операции восстановления и коэффициенты ряда определялись бы в принципе простейшим способом по параметрам дискретизированного сигнала, в частности по мгновенным значениям дискретизированного сигнала.

В том случае, если базисные функции и коэффициенты ряда выбираются по критерию минимума средней квадратической ошибки, то система базисных функций выбирается ортогональной, а коэффициенты ряда определяются как коэффициенты соответствующего ряда Фурье , где a_i – коэффициенты ряда.

Ортогональные функции это такие, для которых выполняется условие

где (0, Т) — область существования функции.

Строго говоря, при дискретизации, также как и при квантовании, значение входного сигнала фиксируется также за конечный промежуток времени. Мы можем сколь угодно уменьшать этот промежуток Dt, но никогда не сведём его к нулю, в связи с этим при дискретизации может возникнуть ещё одна дополнительная погрешность, величина которой зависит от указанного Dt и скорости изменения формы сигнала (крутизны кривой). Следует отметить и то, что системы, выполняющие дискретизацию непосредственно в процессе измерений, присваивают измеренное значение физической величины всему интервалу времени до получения следующего отсчёта. К числу таких систем, например, относятся пилотажные комплексы, информирующие пилота постоянно об изменении параметров полёта.