Расчёт статических характеристик

Приборы и датчики рассматриваются как преобразователи измеряемой величины x(t) в выходной сигнал y(t).

Рис.. Прибор в общем виде

В динамическом режиме измерения, величины x(t) и y(t) непрерывно изменяются, связь между ними определяется дифференциальным уравнением, получаемым в результате анализа физического принципа и схемы прибора.

f₁[y⁽ⁿ⁾, y^(n-1), …, y]=f₂[x^(m), x^(m-1), …, x]

В установившемся режиме измерения все производные величин х и у обращаются в нуль и дифференциальное уравнение переходит в алгебраическое уравнение, выражающее статическую характеристику прибора.

f₁(y) = f₂(x) или y = f(x)

Это уравнение называют основным уравнением прибора. Абсолютная величина диапазона измерений

где X_В – верхний предел, а X_Н – нижний предел диапазона измерений. При выходе X за диапазон измерения выходной сигнал сохраняет постоянное значение благодаря наличию упоров или вследствие насыщения.

 

а) б) в)

Рис.. Типичные виды статических характеристик:

а – нелинейная характеристика; б – линейная характеристика; в – линейная с зоной нечувствительности.

 

Чувствительностью прибора называется предел отношения приращений выходной величины к приращению входной, когда последнее стремится к нулю.

где m_y и m_x – масштабы графика по осям х и у; - угол наклона касательной к характеристике.

Физически чувствительность можно охарактеризовать как минимальную входную величину, вызывающую изменение выходного сигнала.

Как правило, датчик для измерения механических величин вследствие влияния сил трения, люфтов и др. имеют зону нечувствительности. В этом случае вводится понятие порога чувствительности, который равен минимальному приращению измеряемой величины х, при котором выходной сигнал у начинает изменяться.

Для того чтобы найти статическую характеристику прибора, необходимо в начале определить статические характеристики всех преобразующих звеньев. Расчет характеристик звеньев ведется на основе анализа физических принципов их работы.

В приборе сигнал чувствительного преобразователя преобразуется в выходной сигнал пригодный для дальнейшей обработки. Наиболее распространенными являются два метода преобразования:

1. Метод последовательного преобразования, при котом сигнал у₁, чувствительного элемента, преобразуется в другой сигнал у₂, затем в третий у₃ и затем в конечном счете получается выходной сигнал у. Вид количество преобразований зависят от типа чувствительного элемента и от требований к форме выходного сигнала. Такие системы являются разомкнутыми.

2. Компенсационный метод, при котором сигнал у₁ чувствительного элемента уравновешивается другим сигналом у₀, создаваемый с помощью обратного преобразователя или обратной связи. Это замкнутые системы с обратной связью.

Для расчета характеристик приборов каждый из элементов преобразований представляется в виде звена на структурной схеме. Звенья могут соединяться между собой одним из трех типовых способов: последовательного, параллельного и встречно-параллельного.

Расчет статических характеристик приборов ведется в следующем порядке:

1. Составляют структурную схему прибора.

2. Рассчитывают характеристики и чувствительность всех звеньев исходя из принципов их работы.

3. Производят расчет характеристики и чувствительности прибора в целом исходя из вида структурной схемы.

8.1.1 В случае последовательного соединения звеньев:

Рис.. Последовательное соединение звеньев

Если характеристики звеньев 1, 2, …, n выражены соответственно уравнениями (16)

, (16)

то результирующая характеристика прибора определяется совместным решением системы уравнений:

у = f _n {f _n-1 … f ₂[f ₁(x)]},

чувствительность прибора:

Для определения чувствительности последовательного соединения, разделим и умножим производную на dy₁, dy_2, dy_n-1, тогда

.

Имея в виду, что

получим окончательно выражение для чувствительности (17)

S = S₁S ₂ …S _n. (17)

Характеристику прибора с тремя последовательно соединенными звеньями можно определить следующими графическими построениями: в первой четверти прямоугольной системе координат строят характеристику первого звена y₁= f₁(x); во второй четверти строят характеристику второго звена y₂= f₂(y₁), причем величину у₁, для второго звена откладывают по той же оси ординат и в том же масштабе, что и величину у₁, для первого звена. Аналогично в третьей четверти для у₃= f₃(y₂). Затем делят ось на ряд участков произвольной длины, например 4 и из точки 1 восстанавливают перпендикуляр до пересечения с кривой y₁= f₁(x) в точке 5. Через точку 5 проводят горизонталь до пересечения с кривой y₂= f₂(y₁) в точке 6, затем проводят вертикаль до пересечения с точкой 7 и снова горизонталь до пересечения с перпендикуляром от точки 1, и получают точку 8. Повторяя такое же построение для точек 2, 3, 4 строят кривую у = f(х). Если структурная схема содержит более трех звеньев, то графическое построение ведется в несколько приемов, сначала на одном графике определяем результирующую характеристику первых трех звеньев, затем рассматривая эти три звена как единое целое повторяют аналогичное построение на другом графике.

Рис.. Графический способ определения статической характеристики прибора, при последовательном соединении звеньев

 

В том случае, если число звеньев два, то их характеристики строятся в первой и второй четверти, затем проекция суммарной характеристики двух звеньев на ось абсцисс, переносится на ось ординат, после чего строится суммарная кривая аналогично предыдущему случаю (Рис.). В том случая, если число звеньев более трёх, то строится суммарная кривая для трёх звеньев, которая переносится на следующий график, далее добавляется характеристика следующих звеньев и строится суммарная характеристика.

 

x

y1=f1(x)

y2=f2(x)

y=f(x)

 

8.1.2 В случае параллельного соединения звеньев:

Рис.. Параллельное соединение звеньев

Если характеристика звеньев 1, 2, …, n выражены соответственно уравнениями

(18)

а уравнение связи

у = у₁ + у₂ +…+ у_n, (19)

то статическая характеристика системы получается подстановкой уравнения (18) в уравнение (19).

y = f₁(x) + f₂(x) +…+ f_n(x) (20)

Для определения чувствительности продифференцируем уравнение (20) по входной величине х:

Графический метод построения статической характеристики прибора, состоящего из трех параллельных звеньев, состоит в следующем:

В прямоугольной системе координат строят характеристики каждого из звеньев (кривые I, II, III).

Рис.. Графический способ определения статической характеристики прибора, при параллельном соединении звеньев

 

Затем ось абсцисс делят на произвольные участки (1, 2, 3, 4). Через точку 1 проводят прямую, параллельную оси ординат. Точки 5, 6, 7 пересечения этой прямой с кривыми I, II, III имеют ординаты у₁, у₂, у₃. Затем на той же прямой отмечают точку 8 с ординатой y₄=y₁+y₂+y₃. Повторяя аналогичное построение для точек 2, 3, 4 получают точки 9, 10, 11. Плавная кривая IV, проведенная через точки 8, 9, 10, 11 дает искомую характеристику системы с параллельными звеньями.

8.1.3 В случае встречно-параллельного соединения звеньев:

Рис.. Встречно-параллельное соединение звеньев

 

Если характеристики звеньев 1, 2 и уравнение связи имеют вид

y = f₁ (x₁); x₂ = f₂ (y); x₁ = x ± x₂ (21)

то характеристика устройства, состоящего из двух встречно-параллельных звеньев, получается из уравнений (21) в неявном виде:

y = f₁ [x ± f₂ (y)].

Здесь знак “+” отвечает положительной обратной связи, а знак “-” отрицательной.

Чувствительность устройства:

,

откуда , здесь знак “+” соответствует отрицательной обратной связи, знак ”-” положительной.

Рассмотрим графическое построение статической характеристики устройства, состоящего из двух встречно-параллельных звеньев с отрицательной обратной связью.

В прямоугольной системе координат строят характеристику звена 1, это кривая I. В той же системе координат строят характеристику II, звена 2. Затем ось ординат делят на произвольные участки 1, 2, 3, 4.

Рис.. Графический способ определения статической характеристики прибора, при встречно–параллельном соединении звеньев

Через точку 1 проводят прямую, параллельную оси абсцисс; точки 5 и 6 пересечения этой прямой с кривыми I и II имеют абсциссы х₁ и х₂, на той же прямой находят точку 7 с абсциссой х₃ = х₁ + х₂. Повторяя аналогичное построение для точек 2, 3, 4 получаем точки 8, 9, 10.

Плавная кривая, проведенная через точки 7, 8, 9, 10 дает характеристику замкнутой системы с отрицательной обратной связью (кривая III). Тангенс угла наклона касательной к кривой I в любой точке, равен чувствительности звена 1 с учетом масштабов графика.

В случае компенсационного метода измерений S₁ = ¥ и кривая I превращается в прямую, совпадающую с осью ординат и описываемую уравнением х₁ = 0. В этом случае х=х₁ и характеристика компенсационного устройства совпадает с характеристикой звена 2.

При положительной обратной связи для построения результирующей кривой III откладывается разность х₃ = х₁ – х₂.