Дискретизация сигнала, при условии его восстановления методом интерполяции

 

При этом методе полученные точки просто соединяются между собой отрезками прямых линий. Очевидно, что в этом случае плавные участки, близкие к прямым линиям, восстанавливаются с малыми погрешностями, а максимальная погрешность восстановления получается на участках с максимальной кривизной (рис.).

Известно, что любую кривую x(t) на некотором участке можно разложить по степеням t, т. е. описать многочленом. В простейшем случае, используя лишь первые члены разложения, участок кривой между отсчетами можно представить в виде параболы, тогда погрешность линейной интерполяции будет представлять собой разность между этой параболой и ее хордой, соединяющей смежные отсчеты. Как известно, парабола имеет наибольшее отклонение от хорды в середине интервала интерполяции t₀ с абсолютным значением (D_m на рис.)

где - значение второй производной процесса х(t) т. е. оценка его кривизны. Отсюда максимальное значение погрешности восстановления наблюдается на участках кривой с наибольшей кривизной (в области максимумов и минимумов процесса предст. на рис.).

Если нас интересует не абсолютная погрешность D_m, а ее приведенное значение , где x_k — предел измерений, то можно определить максимальный допустимый период дискретизации t_ц при котором погрешность восстановления не будет превышать g_m:

Так как любую сложную кривую можно разложить на ряд гармонических составляющих, то определим необходимый период дискретизации для синусоидального процесса. При x(t)=x_ksinwt оценка текущей кривизны , а ее максимальное значение . Отсюда необходимый период дискретизации для синусоидального процесса

(3)

Соотношение (3) воспринимается более наглядно, если его помощью вычислить число точек п, приходящихся на каждый период Т синусоидального процесса:

(4)

Это соотношение дает:

gm	0, 1
n

 

Таким образом, для восстановления синусоидального процесса с максимальной погрешностью 1 % при равномерной дискретизации необходимо иметь 22 отсчета на период процесса, но для представления с погрешностью 0, 1% нужно не менее 70 отсчетов на каждый период, а для g_m =20% достаточно пяти отсчетов на период.

Исходя из соотношения (4), можно подсчитать минимальный период или максимальную частоту процесса, который может быть зарегистрирован с заданной максимальной погрешностью g_m. Данные о максимальных погрешностях при использовании некоторых приёмов и средств приведены в табл. и свидетельствуют о том, что без использования специальных средств могут быть зарегистрированы лишь очень медленные процессы (с периодом 0, 2—2 с).

 

Метод регистрации	t0 с	Период или частота процесса при gm, % равной
0, 1
Запись в журнал с показывающего прибора		7 мин.	2, 2 мин.	42 с
Цифропечать	0, 5	35 с	11 с	3, 5 с
Перфоратор	0, 027	1, 9 с	0, 6 с	0, 2 с
АЦП с компьтером (условно)	30 × 10-6	500 Гц	1, 5 кГц	5 кГц

 

Выражая g_m из выражения (3) или (4) получаем

(5)

т. е. динамическая погрешность восстановления g_m возрастает е квадратом частоты восстанавливаемого процесса.

На практике чаще всего приходится измерять существенно несинусоидальные процессы, содержащие гармонические составляющие или высокочастотные составляющие шумов, помех или наводок. В этих случаях динамическая погрешность восстановления процесса по дискретным отсчетам резко возрастает, о чем исследователь должен всегда помнить.

Рассмотрим это свойство погрешности восстановления на конкретном примере. Так, в табл. указано, что при использовании АЦП с периодом дискретизации t_ц =30 мкс исследуемый процесс с частотой f₁ =500 Гц восстанавливается с g_m1»0, 1%. Действительно, рассчитывая g_m1 по формуле (5), получаем

что часто можно считать достаточно высокой точностью восстановления. Однако если в кривой этого процесса содержится дополнительно еще 10-я гармоника с частотой f₁₀ =5000 Гц и амплитудой в 0, 1 основной волны, она будет восстанавливаться с относительной погрешностью g_m10, в 100 раз большей, чем g_m1, т. е. равной 10%. Правда, так как амплитуда этой гармоники в 10 раз меньше амплитуды основной волны, то приведенное значение этой погрешности составит лишь g_m10 =1% • Тем не менее результирующая погрешность восстановления всего процесса будет в 10 раз (!) больше, чем погрешность восстановления g_m1 =0, 1% процесса, не содержащего этой высокочастотной составляющей.

Погрешность восстановления для основной волны и ее гармоник является систематической (она всегда отрицательна, см. рис. и приводит к уменьшению восстанавливаемой амплитуды кривой), однако если высокочастотная составляющая вызвана шумом или другими помехами и не синхронна с основной волной, то и погрешность восстановления оказывается случайной и наблюдается в виде случайного разброса отсчетов.

При ручной регистрации наблюдений подобный разброс данных будет сразу замечен экспериментатором и он примет соответствующее решение о ходе эксперимента. Рассмотренное явление особенно опасно при автоматическом вводе данных в компьютер и подчеркивает крайнюю важность метрологического анализа динамических погрешностей в этом случае.

Однако в связи с постоянным увеличением быстродействия компьютеров этот способ дискретизации и восстановления становится очень привлекательным.

5.5 Фильтрация сигналов

Операция выделения из спектра сигнала определенной полосы частот называется фильтрацией. Фильтры подразделяются на фильтры низких частот (а), фильтры высоких частот (б) и полосовые фильтры (в).

Рис. Виды фильтров.

Фильтры низких частот (а), фильтры высоких частот (б), полосовые фильтры (в)

 

Простейшие аналоговые фильтры состоят из R-C цепочек, для увеличения крутизны фильтры делают многозвенными.

Цифровая фильтрация заключается в том, что сигнал x(t) пропускают через математический фильтр, в котором реализуется требуемая характеристика.

 

5.6 Модуляция и детектирование

Воздействие измерительного сигнала x(t) на какой-либо стационарный сигнал называют модуляцией.

В качестве стационарного сигнала, называемого носителем, выбирают синусоидальное колебание

(6)

и последовательность импульсов

 

Выделение из модулированного сигнала составляющей, пропорциональной измеряемому сигналу, называется детектированием.

Синусоидальное колебание (6) определяется амплитудой , частотой , и фазой . Все эти величины можно модулировать. В результате получаем амплитудную модуляцию АМ, частотную модуляцию ЧМ и фазовую модуляцию ФМ.

Рис. Виды модуляций

 

Модуляцию можно характеризовать как умножение модулируемой величины y(t) на множитель 1+mx(t), где х(t) — модулирующая функция такая, что , а m — глубина модуляции, причем 0< m< 1.

При амплитудной модуляции

Если , выражение преобразуется

Отсюда следует, что модулированное колебание состоит из трех колебаний с частотами , и .

Частота называется несущей, а частота и боковыми частотами. Если модулирующий сигнал является периодической функцией.

то модулированный сигнал у(t), будет

Видно, что модулированное колебание состоит из несущей частоты и двух групп, называемых боковыми полосами.

Для детектирования производят обратные манипуляции, разлагая функцию в ряд.

При частотной модуляции частота модулированного сигнала изменяется по закону

или, если , то

(7)

Подставляя (7) в (6) и учитывая, что мгновенная фаза есть интеграл от частоты в выражении (6), получим

В этом выражении — коэффициент частотной модуляции, зависящий от амплитуды модулирующего сигнала.

Представим это выражение в виде

(8)

При больших значениях коэффициента m_г это выражение является очень сложным и его можно выразить в виде рядов по функциям Бесселя. В целях упрощения предположим, что mг< < 1, тогда

В связи с этим выражение (8) принимает вид

(9)

Таким образом, при mг< < 1 спектр частотно-модулированного сигнала не отличается от спектра АМС. Если условие mг< < 1 не выполняется, т.е. имеет место глубокая частотная модуляция, то спектр модулированного сигнала будет содержать не две боковые частоты, а множество частот. Поэтому спектр ЧМ сигнала в общем случае больше спектра АМ сигнала.

Детектирование производится аналогично АМ сигналу.

При фазовой модуляции модулирующий сигнал воздействует на несущие колебания

Если модулирующий сигнал , то

(10)

где — коэффициент фазовой модуляции, зависящий от амплитуды модулирующего сигнала.

В сигнале (10) информативным параметром является фаза , преобразуем сигнал (10)

Сравнивая последнее выражение и выражение (9), можно сделать вывод, что сигналы ФМ и ЧМ совпадают. Различие же состоит в том, что коэффициент ЧМ зависит от частоты модулирующего сигнала, тогда как коэффициент ФМ не зависит от частоты.

Это обстоятельство требует введения соответствующей коррекции сигнала после детектирования.

Детектирование производится аналогично АМ и ЧМ сигналам, при этом для получения фазы необходимо произвести интегрирование

Если в качестве модулируемого сигнала используется периодическая последовательность импульсов, то получим импульсную модуляцию (Рис.).

При этом имеем амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ), частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ), фазоимпульсную модуляцию (ФИМ) и широтно-импульсную модуляцию (ШИМ).

Если АМ, ЧМ, ФМ применяются в основном для аналоговых сигналов, хотя АМ применяется и для цифровых, то импульсные модуляции применяются в основном для цифровых сигналов.

Рис. Импульсные виды модуляций