Черкаси 2009 7 страница
Коректор отримуємо аналогічно. На цьому етапі використаємо значення pk +1. Будуємо інший поліном Лагранжа для функції f (t, y (t)) по точках (tk -1, fk- 1), (tk, fk) і у новій точці (tk +1, fk +1) = (tk +1, f (tk +1, pk +1)). Інтегруємо поліномом на відрізку [ t k -1, tk +1] і в результаті отримаємо відому формулу Сімпсона:
Оцінка помилки та корекція. Залишкова складова формули чисельного інтегрування використовується для отримання як прогнозу, так і коректору порядку О(h 5). Остаточна загальна помилка (О.З.П.) для формул (9.13) та (9.14) дорівнює
Припустимо, що крок h настільки малий, що y (5)(t) майже стала на інтервалі
Формула (9.17) дає оцінку прогнозу, яка ґрунтується на обчисленні значень
Його значення використовується замість
Таким чином, в покращеному модифікованому методі Мілна-Сімпсона послідовно використовуються наступні формули:
9.3. Метод Хеммінга
Ще один важливий метод для розв’язання задачі Коші y’=f(t, y) з початковою умовою y(a)=y0 на інтервалі [a, b] – метод Хеммінга. Прогноз, як і в попередніх методах, базується на наближенні поліномом Лагранжа для
Коректор отримуємо, будуючи другий поліном Лагранжа для функції f (t, y (t)) по точках (tk -1, fk- 1), (tk, fk) і у новій точці (tk +1, fk +1) = (tk +1, f (tk +1, pk +1)). В результаті одержуємо формулу:
Управляючий параметр:
9.4. Обмеження при застосуванні методів прогнозу-корекції Методи прогнозу корекції при великому кроці розрахунку можуть бути не стійкими. При таких розрахунках похибка ітерації збільшується від кроку до кроку, що і обумовлює нестійкість. Для забезпечення стійкості розглянутих методів потрібно корегувати крок на етапі його вибору. З умови стійкості метод крок вибирається за нерівностями [5]:
Методи Адамса-Бешфорса-Мултона і Хемінга дозволяють отримати результати з високим рівнем точності за невелику кількість кроків, тобто швидко збігаються до розв‘язку. Метод Сімпсона застосовують переважно, коли розв‘язок рівняння є негладкою функцією.
Наведемо приклад розв‘язання задачі Коші для рівняння Для методу Адамса-Бешфорса-Маултона:
тому N = 65 (рис. 9.3). *// У прикладі
Рис. 9.3. Розв‘язок задачі за методом Адамса-Бешфорса-Маултона.
Для методу Мілна-Сімпсона:
тому N = 110 (рис. 9.4).
Рис. 9.4. Розв‘язок задачі за методом Мілна-Сімпсона.
Для методу Хемінга:
тому N = 70 (рис. 9.5).
Рис. 9.5. Розв‘язок задачі за методом Хемінга.
Таким чином, з прикладу видно, що при порушенні умов обмеження кроку розв‘язок втрачає стійкість, що не дозволяє довіряти отриманим результатам.
Контрольні питання 1. В чому полягає суть багатокрокових методів розв‘язання диференційних рівнянь в частинних похідних? 2. Яка роль управляючого параметра у підвищенні точності багатокрокового методу розв‘язання диференційних рівнянь в частинних похідних? 3. Які обмеження мають вхідні параметри багатокрокових методів? Чим викликані дані обмеження? 4. Який з методів, розглянутих у розділі є найбільш ефективним для рівнянь з розв‘язком, що представлений гладкою функцією? 5. Яку точність розв’язків забезпечують методи прогнозу-корекції? Розділ 10. Крайові задачі для звичайних диференційних рівнянь. Методи сіток
10.1. Основні поняття Для знаходження єдиного розв‘язку диференційного рівняння потрібно задати певні допоміжні умови, що використовуються для обчислення інтегралу (при класичному представленні розв‘язку диференційного рівняння). Для рівняння n -го порядку мінімально необхідні n таких умов. Якщо умови задані для одного значення незалежної змінної (тобто для абсциси х0 чи хN одного з кінців відрізку розв‘язання задачі), то це початкові умови для розв‘язання задачі Коші. Якщо ж додаткові умови передбачені для значень хі на різних кінцях відрізку, то маємо диференційну крайову задачу і граничні умови для її розв‘язання. Щоб розв‘язати звичайне диференційне рівняння, що моделює конкретний неперервний процес, необхідно знати такі допоміжні умови: - початкові умови, так для рівняння - граничні умови, тобто для рівняння Крайова диференційна задача пошуку часткового розв‘язку диференційного рівняння. Для двоточкової крайової задачі диференційне рівняння другого порядку запишемо у вигляді:
з крайовими умовами
Додаткові умови можуть зв‘язувати між собою значення кількох функцій в різних точках. Крайова задача може мати єдиний розв‘язок, або навіть не один розв‘язок, а також розв‘язок задачі може не існувати. Тому перед початком розв‘язання крайової задачі потрібно перевірити умови існування розв‘язку задачі. Теорема 10.1 визначає загальні умови існування єдиного розв‘язку диференційної крайової задачі. Теорема 10.1. Допустимо, що
і що рівняння
теж неперервні на D. Якщо існує постійна М > 0, для якої виконуються умови
то крайова задача (4.1), (4.2) має єдиний розв‘язок у(х) для
У обчислювальній практиці найчастіше зустрічаються доточкові лінійні крайові задачі виду:
з крайовими умовами
де
Частинним випадком доточкової задачі є задача про механічні та електричні коливання, в якій функції p(x), q(x) та f(x) є константами, а незалежною змінною, по якій відбувається диференціювання, є час t.
Граничні умови визначають ступінь крайової задачі. ü Перша крайова задача має умови ü Друга крайова задача має умови ü Третя крайова задача записується так:
за умови, що
Знаходження розв‘язку крайової задачі у точній (аналітичній формі) значно складніша задача, ніж розв‘язок задачі Коші. Тому для розв‘язування крайових задач розроблено багато наближених методів, що діляться на дві групи: · наближено-аналітичні методи, які приводять до наближеного розв‘язку крайової задачі на відрізку [ a, b ] у вигляді аналітичної функції; · чисельні методи, у яких розв‘язок крайової задачі визначається у вигляді табличної функції, заданої на сітці відрізків Розглянемо деякі з методів розв‘язання диференційної крайової задачі.
10.2. Методи сіток.
При проектуванні технічних об’єктів виникає необхідність аналізу неперервних фізичних, економічних та інших процесів, що описуються диференційними рівняннями в частинних похідних. Це задачі дослідження напруженого стану конструкцій, їх деталей та розрахунки на міцність, розрахунок теплових режимів роботи деталей, вивчення аеро- та гідродинамічних властивостей технічних об’єктів, моделювання зміни курсу валюти в залежності від фінансово-економічних показників, вивчення динаміки змін в чисельності населення залежно від фінансово-економічних та соціально-економічних чинників у державі та багато інших. Для розв’язання таких задач найбільш розповсюдженими є методи сіток. Сутність цих методів полягає в апроксимації початкової безперервної функції множиною наближених значень, що розраховані в деяких точках області, які називаються вузлами
§ метод кінцевих різниць (МКР), § метод кінцевих елементів (МКЕ).
10.2.1. Метод кінцевих різниць
Розглянемо метод кінцевих різниць. Суть методу полягає у заміні похідних диференційного рівняння задачі різницевими аналогами, запису різницевих рівнянь відносно всіх точок області визначення задачі й у розв‘язанні отриманої системи різницевих рівнянь. Порядок розв’язання диференційної крайової задачі МКР можемо відобразити наступними етапами: 1) розбиття області визначення диференційної задачі вузловими точками, 2) заміна похідних у рівнянні, що описує задачу, відповідно до ступеня похідної та місця розташування вузлових точок різницевими аналогами,
4) розв‘язок системи різницевих рівнянь з врахуванням граничних умов, 5) представлення результатів розрахунків у зручному для аналізу вигляді (графіка, чи таблиці) та аналіз отриманих розв‘язків.
Для заміни похідних використовують ліві, праві і центральні різницеві аналоги. Центральні різницеві аналоги похідних першого – другого порядків представлені рівняннями (10.11) ¸ (10.21):
Розглянемо застосування метода кінцевих різниць (МКР) на прикладі стержня, закріпленого у стіні і підігрітого джерелом тепла, що підводиться до вільного кінця стержня. Припустимо, що існує невідома функція температури Ф(х, t), яка відображає нагрів стержня одиничної довжини
Рис 10.3. Одновимірний елемент, розбитий вузловими точками.
Нагрівання забезпечується зовнішнім джерелом тепла: j (х) = х (х - 1) (10.22) Диференційне рівняння, що описує процес розповсюдження тепла у стержні запишемо у вигляді:
В момент часу t граничні умови задачі: § при х = 0 температура дорівнює 10× k; § при х = 1 температура дорівнює (k + 1)× 40.
Потрібно знайти розв’язок початково-крайової задачі:
Різницева апроксимація диференційного рівняння має вигляд:
Приймемо: Приймемо також
Замінивши диференційне рівняння (10.23) різницевим (10.25) і записавши його відносно вузлових точок (рис.10.3) отримаємо систему лінійних рівнянь:
Оскільки вузлових точок 6, а рівнянь в системі 4, використаємо граничні умови задачі. Нехай Ф01 = 10, Ф51 = 80, тобто k = 1. Кожне Фі0 = ni× mi, де ni – відстань в долях відрізка до початку стержня, mi – відстань в долях відрізка до кінця стержня. Наприклад: Ф20 = = Побудуємо систему рівнянь:
Приведемо коефіцієнти системи до цілих чисел:
Розв’язати отриману систему цілком можливо одним з точних методів розв‘язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Але ефективніше застосовувати метод прогонки, оскільки система рівнянь є три діагональною.
при Від диференційного рівняння (10.28) перейдемо до кінцево-різницевого. Для цього розіб'ємо відрізок [ а, b ] на n рівних частин із кроком
де (i=1, 2,..., n-1). Звідси матимемо
де Для похідних на кінцях
Згідно граничних умов (10.28) матимемо
Лінійна система диференційних рівнянь (10.28) з граничними умовами (10.32) містить (n + 1) рівняння першого ступеня відносно невідомих
Припустимо, що за допомогою системи (10.28) з граничними умовами (10.32) із рівняння (10.33) виключена невідома
де Підставимо цей вираз у (10.29) і отримаємо
звідки
З цього виразу, враховуючи формулу (10.34) отримаємо рекурентні формули
Визначимо
З іншого боку, з формули (10.34) при і=0 маємо
Порівнюючи дві останні нерівності, знаходимо
На основі формул (10.36), (10.38) послідовно визначаються коефіцієнти Зворотній хід починається із розрахунку значення
Розв'язуючи її відносно
10.2.2. Метод кінцевих елементів
Розглянемо диференційну крайову задачу для двовимірного диференційного рівняння з частинними похідними. Розв‘язок задачі, що визначається
будемо шукати у вигляді лінійної комбінації простих однотипних функцій:
що мають вигляд
|
(9.13)
(9.14)
(О.З.П. для прогнозу) (9.15)
(О.З.П. для коректора) (9.16)
. Тоді із формул (9.15) і (9.16) можемо виключити елементи, які містять похідну п’ятого порядкую, і в результаті отримати формулу:
(9.17)
і 
і не використовує 
. Її можна застосовувати для покращення значень прогнозу. Якщо припустити, що різниця між значеннями прогнозу 
і корекції 
на кожному кроці змінюється повільно, то можна підставити 
і 
замість 
і 
в формулу (9.17) і отримати наступний управляючий параметр:
(9.18)
(9.19)
(прогноз)
(управляючий параметр)
(9.20)
(коректор)
. Він побудований по точкам 
та 
. При інтегруванні отримуємо прогноз Хеммінга: 
(9.21)
(9.22)
(9.23)
(9.24)
з початковими умовами y(0) = 1 на інтервалі [0; 10]. Всі три розглянуті вище багатокрокові методи мають порядок похибки розв‘язку О(h4). Побудуємо графіки розв‘язків рівняння при мінімальній (меншій за визначений за критерієм стійкості методу) кількості кроків і при кількості кроків, визначеній за формулами (9.24).
;
;
;
, розв‘язок якого потрібно знайти на відрізку [ x0, xn ], початкову умову можемо записати у вигляді 
;
(10.1)
(10.2)
неперервна в області
(10.3)
(10.4)
(10.5)
.
(10.6)
(10.7)
. Умови, яким повинні задовольняти функції p(x), q(x) та f(x) для забезпечення єдиного розв‘язку задачі визначаються наслідком з теореми 10.1.
Наслідок теореми 10.1. Якщо p(x) і q(x) неперервні на D і q(x) < 0, то задача (10.6, 10.7) має єдиний розв‘язок на проміжку [ a, b ].
. (10.8)
. (10.9)
, (10.10)
.
. Сукупність вузлів, з’єднаних певним чином, утворюють сітку, яка є дискретною моделлю області визначення шуканої функції.
За допомогою методів сіток диференційну крайову задачу зводять до системи лілійних або нелінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих вузлових значень функції. Найбільше розповсюдження в сучасних математичних середовищах та системах автоматизованого проектування отримали два методи сіток:
3) на основі отриманого в п.2 різницевого рівняння побудова системи різницевих рівнянь відносно всіх точок області визначення,
(10.11)
(10.12)
(10.13)
(10.14)
(10.15)
(10.16)
(10.17)
(10.18)
(10.19)
(10.20)
(10.21)
у продовж часу 
(рис. 10.3).
(10.23)
(10.24)
(10.25)
. Тоді 
.
(10.26)
.
(10.27)
Метод прогонки. Розглянемо лінійну крайову задачу на відрізку 
:
(10.28)
, та припустимо, що функції p(x), q(x), f(x) неперервні на [ a, b ].
Покладаючи, що 
і вводячи позначення: 
для внутрішніх точок 
(i=1, 2,..., n-1) відрізку [ a, b ] замість диференційного рівняння (10.28) отримаємо систему кінцево-різницевих рівнянь:
(і=1, 2,..., n-1) (10.29)
(10.30)
і 
беремо односторонні похідні:
(10.31)
(10.32)
. Розв'яжемо її методом прогонки [17]. Знайдемо 
з рівняння (10.29)
(10.33)
. Тоді
, (10.34)
- деякі коефіцієнти. Аналогічно 
.
(10.35)
(10.36)
і 
. Із першої граничної умови (10.32) 
отримаємо
(10.37)
(10.38)
до 
і 
включно, це прямий хід.
. Використовуючи другу крайову умову (10.32) і формулу (10.34) при i = n-1, отримаємо систему двох рівнянь
, 
(10.39)
, будемо мати
(10.40)
Тепер за формулою (10.34) послідовно знаходимо 
(10.35)
(10.36)
(10.37)
