РЕШЕНИЕ ПОЗИЦИОННЫХ ЗАДАЧ

 

Задачи начертательной геометрии можно разделить на позиционные и метрические.

В позиционных задачах требуется найти положение геометрических фигур (точки, прямой, плоскости, тела), удовлетворяющих условиям задачи. Например, найти точку пересечения прямой с плоскостью, провести прямую или плоскость через данную точку, найти линию пересечения плоскостей и т. п. Решая задачи на принадлежность, следует помнить, что:

1) точка принадлежит линии, если её проекции принадлежат одно­именным проекциям этой линии;

2) точка принадлежит поверхности (плоскости), если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности (плоскости);

3) линия принадлежит поверхности, если все точки линии принадлежат этой поверхности;

4) прямая принадлежит плоскости, если две точки прямой принадлежат этой плоскости;

5) точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой этой плоскости.

Решение значительного числа практических задач связано с вопросами пересечения геометрических образов (тел). Ввиду их особой важности, задачи о пересечениях называют главными позиционными задачами (ГПЗ).

Решение любой задачи на пересечение состоит в определении общего элемента двух геометрических образов (искомого геометрического образа). В связи с этим можно различить два их типа: 1-я ГПЗ (пересечение линий и поверхностей); 2-я ГПЗ (пересечение поверхностей).

Общее для каждой из задач подразумевает, что включены в рассмотрение все возможные варианты пересечений. Так, к 1-й ГПЗ (1ГПЗ) относятся пересечения прямой и плоскости, прямой и поверхности, кривой и плоскости, кривой и поверхности, а ко 2-й ГПЗ(2ГПЗ) – плоскостей, плоскости и поверхности, поверхностей. Очевидно, в 1-й ГПЗ искомым геометрическим образом является точка или несколько (конечное число) точек, во 2-й ГПЗ искомым геометрическим образом служит линия.

Искомый геометрический образ как результат пересечения образов заданных всегда принадлежит им одновременно и может быть определен либо прямо, на основании свойств пересекающихся образов, либо через посредство свойств некоего нового геометрического образа (или совокупность таких образов).

Методика решения предполагает использование проецирующих свойств геометрических образов. Поскольку геометрические образы могут быть как проецирующие, так и не проецирующие, то для всех ГПЗ, при всем многообразии вариантов, существуют три случая пересечения:

Случай 1. Оба пересекающиеся геометрические образы – проецирующие.

Случай 2. Один из пересекающихся геометрических образов проецирующий, а второй – не проецирующий.

Случай 3. Оба пересекающиеся геометрические образы – не проецирующие.

Имея в виду собирательное свойство главной проекции геометрического образа, можно утверждать, что

в случае 1 непосредственно на чертеже можно указать обе проекции искомого геометрического образа;

в случае 2 непосредственно на чертеже можно определить одну проекцию искомого геометрического образа;

в случае 3 определение проекций искомого геометрического образа потребует введения нового геометрического образа-посредника, обладающего свойствами проецирующих образов.

Эти соображения вытекают из того, что точка, линия, фигура, принадлежащие проецирующему геометрическому образу, будут иметь свои одноименные проекции, совпадающие с его главной проекцией. Это позволяет не только систематизировать все возможные случаи пересечения, но и алгоритмизировать сам процесс решения ГПЗ для всех случаев пересечения.

Самое главное из всего вышеизложенного о главных позиционных за­дачах (ГПЗ) можно объединить в двух таблицах, полезных для использования при решении задач о пересечении геометрических образов.

 

Таблица 1

Тип ГПЗ	Вид искомого геометрического образа
	точка (или конечное число точек)
	линия (несколько линий или бесконечное множество точек)

 

Таблица 2

Случай пересечения	Геометрический образ 1	Геометрический образ 2

 

Напомним, что значок означает проецирующий геометрический образ, а значок – не проецирующий.

Всё это позволяет сформулировать ряд общих алгоритмов, с помощью которых решается любая задача на пересечение геометрических образов.