методом наименьших квадратов

Зависимость измеряемой величины у от условий опыта х может быть найдена графически, если нанести значения х и у на миллиметровую бумагу и построить плавную кривую так, чтобы точки равномерно распределились по обе стороны кривой

(рис. 1). Задача состоит в том, чтобы по результатам опытов построить такую кривую у = f(x), относительно которой разброс (отклонения) экспериментальных точек был бы минимальным.

Tеория вероятности показывает, что наилучшее приближение к истинной зависимости у = f(x) дает кривая, построенная методом наименьших квадратов. В этом случае сумма квадратов отклонений экспериментальных значений у_i от кривой у = f(x) будет минимальна. Отсюда и происходит название данного метода обработки результатов эксперимента.

1. Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для случая, когда между измеряемыми величинами х и у существует линейная зависимость

. (1)

 

Рис. 1. Метод наименьших квадратов

 

 

Пусть в результате эксперимента получено п различных значений величины у_i, соответствующих различным значениям величины х_i. Найдем коэффициент b, при котором экспериментальные точки у_i будут иметь наименьшие отклонения Δ у_i относительно прямой.

Отклонение каждого значения у_i от прямой у = bх будет

. (2)

Составим сумму квадратов отклонений:

(3)

Отклонение (разброс) измеренных значений у_i от функции у = f(x) будет минимальным, если

(4)

Дифференцирование (3) по переменной b (предположив, что все остальные величины постоянны) с учетом (4) дает

или (5)

Отсюда определяем искомый коэффициент b.

(6)

2. В случае линейной зависимости между величинами х и у, которая аппроксимируется прямой, не проходящей через начало координат,

y = a + bx, (7)

 

 

коэффициенты а и b могут быть вычислены по формулам

 

 

(8)

 

Пример: предположим, что мы провели эксперимент и получили данные, которые занесли в табл. 1.

 

Таблица 1

Номер измерения i
xi	1, 0	1, 9	3, 1	4, 0	4, 9
yi	1, 6	2, 5	3, 0	3, 7	4, 6

Для упрощения расчетов составим вспомогательную таблицу и заполним ее.

 

 

Таблица 2

Номер измерения i	xi	yi	xi уi	xi 2
	1, 0	1, 6	1, 6	1, 0
	1, 9	2, 5	4, 75	3, 61
	3, 1	3, 0	9, 3	9, 61
	4, 0	3, 7	14, 8	16, 0
	4, 9	4, 6	22, 54	24, 01
Σ	14, 9	15, 4	52, 99	54, 23

 

 

Рассчитаем коэффициенты а и b

 

Таким образом, уравнение прямой будет выглядеть следующим образом: у = 0, 928 + 0, 722 х.

Для построения отрезка прямой линии найдем две точки,

у ₁= 0, 928. Вторую точку получим, подставив в уравнение прямой значение х, равное, например, 5.

у ₂ = 0, 928 + 0, 722 5 = 4, 538.

На листе миллиметровой бумаги проведем оси координат, причем ось у проведем вертикально, а ось х – горизонтально.

 

 

Рис. 2

Выберем и нанесем на оси координат масштаб так, чтобы наши экспериментальные точки располагались на графике наилучшим образом – занимали на графике максимальную площадь. Нанесем на график экспериментальные точки и две точки у ₁и у ₂, рассчитанные нами (рис. 2). Для обозначения экспериментальных и «теоретических» точек используем разные обозначения (кружки, крестики, треугольники и т. п.).

Через две «теоретических» точки проведем отрезок прямой линии. При правильных расчетах линия пройдет на графике наилучшим образом, так, что экспериментальные точки будут располагаться справа и слева от прямой. Все построения желательно делать карандашом.

 

 

Список рекомендуемой литературы

 

1. Братухин Ю. К. Обработка результатов измерений: учеб. пособие / Ю.К.Братухин, Г.Ф.Путин, – Пермь.: Изд-во Перм. гос. ун-та, 1988.– 44 с.

2. Колесниченко В.И. Обработка и представление результатов эксперимента. / В.И.Колесниченко – Пермь; – Перм.. гос. техн. ун-т, 2000. – 74 с.

 

3. Сборник методических рекомендаций к лабораторным работам по физике. 1. Механика: учеб.пособие / под ред. В.М. Коровина, – Перм. гос. ун-т. – Пермь, 1997.- 87 с.

4. Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин: учеб. пособие / А.Н.Зайдель. – Л.: Наука, 1985.– 108 с.

5. Общий физический практикум. Механика / Под ред. А.Н. Матвеева, Д.Ф. Киселева. – М.: Изд-во МГУ, 1991.– 272 с.

6. Савельев И. В. Курс физики. Т. 1. Механика: учеб. пособие / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1989.– 496с.

7. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.1.: учеб. пособие / Д.В.Сивухин. – М.: Наука, 1989.– 576 с.

8. Общая физика. Ч.2. Молекулярная физика и термодинамика: учеб. пособие / под ред. Ю.Л. Райхера, Перм. политехн. ин-т. – Пермь, 1998. – 81с.

Содержание

Основные правила работы в лабораториях кафедры прикладной

физики……………………………………………………………………3

Введение в обработку результатов измерений… ………………….....6

Лабораторная работа № 1. Статистика времени реакции человека….16

Лабораторная работа № 2. Определение плотности твердого тела….19

Лабораторная работа № 3. Измерение ускорения свободного

падения с помощью машины Атвуда…………………………………23

Лабораторная работа № 4. Маятник Обербека……………………….32

Лабораторная работа № 5. Физический маятник…………………….44

Лабораторная работа № 6. Определение момента инерции тел

методом колебаний. Теорема Штейнера……………………………..52

Лабораторная работа № 7. Изучение прецессии гироскопа…………63

Лабораторная работа № 8. Определение коэффициента вязкости

жидкости методом Стокса…………………………………………….70

Лабораторная работа № 9. Измерение коэффициента трения………81

Лабораторная работа № 10. Исследование упругих колебаний…… 89

Приложение……………………………………………………………96

Список рекомендуемой литературы……………………………… 100