Тело движется под действием силы, зависимость проекции которой от координаты представлена на графике:
Работа силы (в
) на пути 4 м равна …
Решение:
Работа переменной силы на участке
определяется как интеграл:
. Используя геометрический смысл определенного интеграла, можно найти работу, которая численно равна площади трапеции
.
Тема: Работа. Энергия
Тело массой m =100 г бросили с поверхности земли вверх с начальной скоростью
м/с. Высота подъема тела оказалась равной
Работа силы сопротивления (в Дж) воздуха равна …
|
| | – 1
|
|
| |
|
|
| | – 1000
|
|
| |
|
Решение:
Работа силы сопротивления воздуха равна изменению полной энергии тела: 
Тема: Работа. Энергия
Частица совершила перемещение по некоторой траектории из точки M (3, 2) в точку N (2, –3). При этом на нее действовала сила
(координаты точек и сила
заданы в единицах СИ). Работа, совершенная силой
, равна …
Решение:
По определению
. С учетом того, что

Тема: Работа. Энергия
Частица совершила перемещение по некоторой траектории из точки M (1, 2) в точку N (2, –1). При этом на нее действовала сила
(координаты точек и сила
заданы в единицах СИ). Работа, совершенная силой
(в Дж), равна …
|
| |
|
|
| | – 3
|
|
| |
|
|
| |
|
Решение:
По определению
. С учетом того, что
, 
Тема: Работа. Энергия
На рисунке показан вектор силы, действующей на частицу:
Работа, совершенная этой силой при перемещении частицы из начала координат в точку с координатами (5; 2), равна ______
.
Решение:
По определению
. С учетом того, что
(см. рис.), 
Тема: Работа. Энергия
Материальная точка массой
начинает двигаться под действием силы
(Н). Если зависимость радиуса-вектора материальной точки от времени имеет вид
(м), то мощность (Вт), развиваемая силой в момент времени
равна …
Решение:
Мощность, развиваемая силой в некоторый момент времени, равна:
, где
скорость материальной точки, равная:
. Следовательно, 
Тема: Работа. Энергия
Потенциальная энергия частицы задается функцией
.
– компонента (в Н) вектора силы, действующей на частицу в точке А (1, 2, 3), равна …
(Функция
и координаты точки А и заданы в единицах СИ.)
|
| | – 4
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| | – 12
|
Решение:
Связь между потенциальной энергией частицы и соответствующей ей потенциальной силой имеет вид
, или
,
,
. Таким образом, 
Тема: Работа. Энергия
Частица движется в двумерном поле, причем ее потенциальная энергия задается функцией
. Работа сил поля (в Дж) по перемещению частицы из точки С (1, 1, 1) в точку В (2, 2, 2) равна …
(Функция
и координаты точек заданы в единицах СИ.)
|
| |
|
|
| | – 18
|
|
| | – 14
|
|
| |
|
Решение:
Работа потенциальной силой совершается за счет убыли потенциальной энергии частицы:
. Тогда 
Тема: Работа. Энергия
Потенциальная энергия частицы задается функцией
.
-компонента (в Н) вектора силы, действующей на частицу в точке А (3, 1, 2), равна …
(Функция
и координаты точки А заданы в единицах СИ.)
Решение:
Связь между потенциальной энергией частицы и соответствующей ей потенциальной силой имеет вид
, или
,
,
. Таким образом, 
Тема: Работа. Энергия
Потенциальная энергия частицы в некотором силовом поле задана функцией
. Работа потенциальной силы (в Дж) по перемещению частицы из точки В (1, 1, 1) в точку С (2, 2, 2) равна …
(Функция
и координаты точек заданы в единицах СИ.)
Решение:
Работа потенциальной силой совершается за счет убыли потенциальной энергии частицы:
. Тогда 
Тема: Работа. Энергия
Потенциальная энергия частицы задается функцией
-компонента (в Н) вектора силы, действующей на частицу в точке А (1, 2, 3), равна …
(Функция
и координаты точки А и заданы в единицах СИ.)
Решение:
Связь между потенциальной энергией частицы и соответствующей ей потенциальной силой имеет вид:
, или
,
,
. Таким образом, 
Тема: Работа. Энергия
Частица совершила перемещение по некоторой траектории из точки M (3, 2) в точку N (2, –3). При этом на нее действовала сила
(координаты точек и сила
заданы в единицах СИ). Работа, совершенная силой
, равна …
Решение:
По определению
. С учетом того, что

Тема: Работа. Энергия
Для того чтобы раскрутить стержень массы
и длины
(см. рисунок) вокруг вертикальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину, до угловой скорости
, необходимо совершить работу
.
Для того чтобы раскрутить до той же угловой скорости стержень массы
и длины
, необходимо совершить работу в _____ раз(-а) бό льшую, чем
.
Решение:
Совершенная работа равна кинетической энергии вращательного движения стержня
, где момент инерции стержня
пропорционален массе и квадрату длины,
(момент инерции стержня массы
и длины
относительно оси, проходящей перпендикулярно ему через середину стержня, равен
). Следовательно, работа по раскручиванию до такой же угловой скорости
стержня вдвое бό льшей массы и в два раза длиннее будет в 8 раз больше:
.
Тема: Работа. Энергия
Для того чтобы раскрутить стержень массы
и длины
(см. рисунок) вокруг вертикальной оси, проходящей перпендикулярно через его середину, до угловой скорости
, необходимо совершить работу
.
Для того чтобы раскрутить до той же угловой скорости стержень массы
и длины
необходимо совершить работу …
Решение:
Совершенная работа равна кинетической энергии вращательного движения стержня
, где момент инерции стержня
пропорционален массе и квадрату длины,
(момент инерции стержня массы
и длины
относительно оси, проходящей перпендикулярно ему через середину стержня, равен
). Следовательно, работа по раскручиванию до такой же угловой скорости
стержня вдвое меньшей массы, но в 2 раза длиннее будет в 2 раза больше:
.
Тема: Работа. Энергия
На концах невесомого стержня длины l закреплены два маленьких массивных шарика. Стержень может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Стержень раскрутили до угловой скорости
. Под действием трения стержень остановился, при этом выделилось 4 Дж теплоты.
Если стержень раскрутить до угловой скорости
, то при остановке стержня выделится количество теплоты (в Дж), равное …
Решение:
Согласно закону сохранения энергии количество выделившейся теплоты равно убыли полной механической энергии, в данном случае – убыли кинетической энергии вращения:
. Отсюда следует, что при уменьшении угловой скорости в 2 раза количество выделившейся теплоты уменьшится в 4 раза, то есть 
Тема: Работа. Энергия
На рисунке показаны тела одинаковой массы и размеров, вращающиеся вокруг вертикальной оси с одинаковой частотой. Кинетическая энергия первого тела
Дж. Если
кг,
см, то момент импульса (в мДж·с) второго тела равен …

Решение:
Момент импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен:
, где J – момент инерции тела относительно оси вращения,
угловая скорость его вращения. Момент инерции диска относительно указанной оси
. Для нахождения
используем значение кинетической энергии первого тела. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется по формуле
. Отсюда
, где
– момент инерции кольца относительно оси вращения. Тогда момент импульса второго тела с учетом равенства массы m и радиуса R диска и кольца и одинаковых угловых скоростей вращения этих тел равен: 
Тема: Работа. Энергия
На рисунке показаны тела одинаковой массы и размеров, вращающиеся вокруг вертикальных осей. Если частота вращения диска в два раза больше частоты вращения кольца, то отношение кинетических энергий
равно …

Решение:
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется по формуле
, где J – момент инерции тела относительно оси вращения,
угловая скорость его вращения, связанная с частотой вращения
соотношением
. Моменты инерции тел относительно указанных осей с учетом равенства их масс и размеров равны
и
. Тогда отношение кинетических энергий диска и кольца равно
.
Тема: Законы сохранения в механике
Шар массой
, движущийся со скоростью
, налетает на покоящийся шар массой
(см. рис.).
Если удар абсолютно неупругий, скорость шаров (в м/с) после удара равна …
|
| | 0, 5
|
|
| | 0, 6
|
|
| |
|
|
| | 1, 67
|
Решение:
В соответствии с законом сохранения импульса должно выполняться соотношение
. Для рассматриваемого случая
, откуда
.
Тема: Законы сохранения в механике
Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты х изображена на графике
:
Кинетическая энергия шайбы в точке С ______, чем в точке В.
|
| | в 2 раза больше
|
|
| | в 2 раза меньше
|
|
| | в 1, 75 раза больше
|
|
| | в 1, 75 раза меньше
|
Решение:
В точке А шайба имеет только потенциальную энергию. По закону сохранения механической энергии,
и
. Отсюда
и
. Следовательно, кинетическая энергия шайбы в точке С в 2 раза больше, чем в точке В.
Тема: Законы сохранения в механике
График зависимости кинетической энергии от времени для тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, имеет вид, показанный на рисунке …
Решение:
Кинетическая энергия тела
, где
и
– проекции скорости тела на оси OX и OY соответственно. Для тела, брошенного под углом α к горизонту,
,
. Тогда
. Это уравнение параболы со смещенной вершиной, ветви которой направлены вверх, причем
. Поэтому график зависимости кинетической энергии тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, от времени имеет вид:

Тема: Законы сохранения в механике
График зависимости потенциальной энергии тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, от высоты подъема имеет вид, показанный на рисунке …
Решение:
Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести определяется формулой
. Для тела, брошенного под углом к горизонту и в конце концов упавшего на землю, график зависимости потенциальной энергии от высоты подъема имеет вид, представленный на рисунке.

Тема: Законы сохранения в механике
Тело брошено под углом к горизонту. При его движении …
|
| | импульс не сохраняется, проекция импульса на горизонтальное направление сохраняется
|
|
| | импульс не сохраняется, проекция импульса на горизонтальное направление не сохраняется
|
|
| | импульс сохраняется, проекция импульса на горизонтальное направление сохраняется
|
|
| | импульс сохраняется, проекция импульса на горизонтальное направление не сохраняется
|
Решение:
На тело при его движении действует сила тяжести. Поэтому импульс тела не сохраняется. В то же время проекция силы тяжести на горизонтальное направление равна нулю. Следовательно, сохраняется проекция импульса на горизонтальное направление.
Тема: Законы сохранения в механике
Горизонтально летящая пуля пробивает брусок, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности. В системе «пуля – брусок» …
|
| | импульс сохраняется, механическая энергия не сохраняется
|
|
| | импульс сохраняется, механическая энергия сохраняется
|
|
| | импульс не сохраняется, механическая энергия сохраняется
|
|
| | импульс не сохраняется, механическая энергия не сохраняется
|
Решение:
Закон сохранения импульса выполняется в замкнутых системах. Система «пуля - брусок» не является замкнутой, так как на нее действуют сила притяжения к Земле и сила реакции опоры. Однако проекции этих сил на горизонтальное направление равны нулю, поэтому проекция импульса системы на указанное направление не изменяется. Поскольку речь идет о горизонтально летящей пуле и брусок может двигаться только в горизонтальном направлении, можно утверждать, что импульс системы сохраняется. Закон сохранения механической энергии выполняется в консервативных системах. В данном случае внешние силы консервативны (силами трения между бруском и гладкой поверхностью можно пренебречь), но есть внутренние неконсервативные силы, действующие в системе в момент пробивания пулей бруска и совершающие работу. Поэтому механическая энергия рассматриваемой системы не сохраняется.
Тема: Законы сохранения в механике
Шар массы
, имеющий скорость v, налетает на неподвижный шар массы
:
После соударения шары будут двигаться так, как показано на рисунке …
Решение:
Согласно закону сохранения импульса, должно выполняться соотношение
, что означает, что должна сохраняться и величина импульса и направление. В ситуации, показанной на рисунке,
это соотношение выполняется.
Тема: Законы сохранения в механике
Теннисный мяч летел с импульсом
в горизонтальном направлении, когда теннисист произвел по мячу резкий удар длительностью
0, 1 с. Изменившийся импульс мяча стал равным
(масштаб указан на рисунке):
Средняя сила удара равна …
Решение:
Изменение импульса мяча равно
. Величина
(см. рис.). Следовательно, сила удара равна:
.
Тема: Законы сохранения в механике
Фигурист вращается вокруг вертикальной оси с определенной частотой. Если он разведет руки в стороны, увеличив тем самым свой момент инерции относительно оси вращения в 1, 5 раза, то …
|
| | частота вращения фигуриста и его кинетическая энергия вращения уменьшатся в 1, 5 раза
|
|
| | частота вращения фигуриста возрастет в 1, 5 раза, а его кинетическая энергия вращения – в 2, 25 раза
|
|
| | частота вращения фигуриста уменьшится в 1, 5 раза, а его кинетическая энергия вращения – в 2, 25 раза
|
|
| | частота вращения фигуриста и его кинетическая энергия вращения возрастут в 1, 5 раза
|
Решение:
Согласно закону сохранения момента импульса,
, где J – момент инерции фигуриста относительно оси вращения,
– угловая скорость его вращения вокруг этой оси. Отсюда с учетом того, что
, где n – частота вращения,
. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна:
. Тогда
. Таким образом, частота вращения фигуриста и его кинетическая энергия уменьшатся в 1, 5 раза.
Тема: Законы сохранения в механике
Два маленьких массивных шарика закреплены на невесомом длинном стержне на расстоянии
друг от друг, как показано на рисунке:
Стержень вращается без трения в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей посередине между шариками, с угловой скоростью
. Если шарики раздвинуть симметрично на расстояние
, то угловая скорость
будет равна …
Решение:
Согласно закону сохранения момента импульса,
. Здесь J – момент инерции шариков относительно оси вращения,
– угловая скорость вращения вокруг этой оси. Отсюда
. Таким образом, угловая скорость уменьшится в 4 раза.
Тема: Законы сохранения в механике
Тело брошено под углом к горизонту. При его движении …
|
| | импульс не сохраняется, проекция импульса на горизонтальное направление сохраняется
|
|
| | импульс не сохраняется, проекция импульса на горизонтальное направление не сохраняется
|
|
| | импульс сохраняется, проекция импульса на горизонтальное направление сохраняется
|
|
| | импульс сохраняется, проекция импульса на горизонтальное направление не сохраняется
|
Решение:
На тело при его движении действует сила тяжести. Поэтому импульс тела не сохраняется. В то же время проекция силы тяжести на горизонтальное направление равна нулю. Следовательно, сохраняется проекция импульса на горизонтальное направление.
Тема: Законы сохранения в механике
Диск в одном случае скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости высотой h, а в другом случае соскальзывает с нее. Если трением можно пренебречь, то отношение скоростей диска
у основания наклонной плоскости будет равно …
Решение:
В рассматриваемой системе «тело – Земля» действуют только консервативные силы, поэтому в ней выполняется закон сохранения механической энергии, применяя который можно найти искомую скорость диска в обоих случаях:
и
. С учетом того, что момент инерции диска относительно оси вращения
и
, получаем из первого уравнения
, а из второго уравнения –
. Тогда искомое отношение равно
.
Тема: Законы сохранения в механике
Сплошной цилиндр и шар, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания с одинаковыми скоростями на горку. Если трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то отношение высот
, на которые смогут подняться эти тела, равно …
Решение:
В рассматриваемой системе «тело – Земля» действуют только консервативные силы, поэтому в ней выполняется закон сохранения механической энергии, согласно которому
, или
, где J – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс,
– угловая скорость вращения вокруг этой оси, h – высота, на которую сможет подняться тело. Отсюда с учетом того, что
, получаем:
. Моменты инерции сплошного цилиндра и шара равны соответственно
и
. Тогда искомое отношение высот
.
Тема: Законы сохранения в механике
Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки с одной и той же высоты. Если трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то отношение скоростей
, которые будут иметь эти тела у основания горки, равно …
Решение:
В рассматриваемой системе «тело – Земля» действуют только консервативные силы, поэтому в ней выполняется закон сохранения механической энергии, согласно которому
, или
, где J – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс,
– угловая скорость вращения вокруг этой оси, h – высота, с которой скатывается тело. Отсюда с учетом того, что
, получаем:
. Отсюда
. Моменты инерции сплошного и полого цилиндров равны соответственно:
и
. Тогда искомое отношение скоростей
.
Тема: Законы сохранения в механике
Тело массой m, прикрепленное к пружине жесткостью k, может без трения
двигаться по горизонтальной поверхности (пружинный маятник).

Если А – амплитуда колебаний, то при смещении тела из положения равновесия на величину
скорость тела составит …
Решение:
По условию задачи трение отсутствует. Следовательно, в системе выполняется закон сохранения механической энергии:
, где А – амплитуда колебаний. Отсюда
. С другой стороны,
. Отсюда
.
Тема: Элементы специальной теории относительности
-мезон, двигавшийся со скоростью
(с – скорость света в вакууме) в лабораторной системе отсчета, распадается на два фотона: g1 и g2. В системе отсчета мезона фотон g1 был