Тема: Работа. Энергия

Тело движется под действием силы, зависимость проекции которой от координаты представлена на графике:

Работа силы (в ) на пути 4 м равна …

 

30 |

 

Решение:
Работа переменной силы на участке определяется как интеграл: . Используя геометрический смысл определенного интеграла, можно найти работу, которая численно равна площади трапеции .

Тема: Работа. Энергия
Тело массой m =100 г бросили с поверхности земли вверх с начальной скоростью м/с. Высота подъема тела оказалась равной Работа силы сопротивления (в Дж) воздуха равна …

 

			– 1
			– 1000

Решение:
Работа силы сопротивления воздуха равна изменению полной энергии тела:

Тема: Работа. Энергия
Частица совершила перемещение по некоторой траектории из точки M (3, 2) в точку N (2, –3). При этом на нее действовала сила (координаты точек и сила заданы в единицах СИ). Работа, совершенная силой , равна …

 

21 |

 

Решение:
По определению . С учетом того, что

Тема: Работа. Энергия
Частица совершила перемещение по некоторой траектории из точки M (1, 2) в точку N (2, –1). При этом на нее действовала сила (координаты точек и сила заданы в единицах СИ). Работа, совершенная силой (в Дж), равна …

 

			– 3

 

Решение:
По определению . С учетом того, что ,

 

Тема: Работа. Энергия
На рисунке показан вектор силы, действующей на частицу:
Работа, совершенная этой силой при перемещении частицы из начала координат в точку с координатами (5; 2), равна ______ .

 

19 |

 

Решение:
По определению . С учетом того, что (см. рис.),

Тема: Работа. Энергия
Материальная точка массой начинает двигаться под действием силы (Н). Если зависимость радиуса-вектора материальной точки от времени имеет вид (м), то мощность (Вт), развиваемая силой в момент времени равна …

12 |

Решение:
Мощность, развиваемая силой в некоторый момент времени, равна: , где скорость материальной точки, равная: . Следовательно,

Тема: Работа. Энергия
Потенциальная энергия частицы задается функцией . – компонента (в Н) вектора силы, действующей на частицу в точке А (1, 2, 3), равна …
(Функция и координаты точки А и заданы в единицах СИ.)

 

			– 4
			– 12

 

Решение:
Связь между потенциальной энергией частицы и соответствующей ей потенциальной силой имеет вид , или , , . Таким образом,

Тема: Работа. Энергия
Частица движется в двумерном поле, причем ее потенциальная энергия задается функцией . Работа сил поля (в Дж) по перемещению частицы из точки С (1, 1, 1) в точку В (2, 2, 2) равна …
(Функция и координаты точек заданы в единицах СИ.)

 

			– 18
			– 14

 

Решение:
Работа потенциальной силой совершается за счет убыли потенциальной энергии частицы: . Тогда

 

Тема: Работа. Энергия
Потенциальная энергия частицы задается функцией .
-компонента (в Н) вектора силы, действующей на частицу в точке А (3, 1, 2), равна …
(Функция и координаты точки А заданы в единицах СИ.)

 

36 |

 

Решение:
Связь между потенциальной энергией частицы и соответствующей ей потенциальной силой имеет вид , или , , . Таким образом,

Тема: Работа. Энергия
Потенциальная энергия частицы в некотором силовом поле задана функцией . Работа потенциальной силы (в Дж) по перемещению частицы из точки В (1, 1, 1) в точку С (2, 2, 2) равна …
(Функция и координаты точек заданы в единицах СИ.)

 

3 |

 

Решение:
Работа потенциальной силой совершается за счет убыли потенциальной энергии частицы: . Тогда

Тема: Работа. Энергия
Потенциальная энергия частицы задается функцией -компонента (в Н) вектора силы, действующей на частицу в точке А (1, 2, 3), равна …
(Функция и координаты точки А и заданы в единицах СИ.)

 

6 |

 

Решение:
Связь между потенциальной энергией частицы и соответствующей ей потенциальной силой имеет вид: , или , , . Таким образом,

Тема: Работа. Энергия
Частица совершила перемещение по некоторой траектории из точки M (3, 2) в точку N (2, –3). При этом на нее действовала сила (координаты точек и сила заданы в единицах СИ). Работа, совершенная силой , равна …

21 |

Решение:
По определению . С учетом того, что

 

Тема: Работа. Энергия
Для того чтобы раскрутить стержень массы и длины (см. рисунок) вокруг вертикальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину, до угловой скорости , необходимо совершить работу .

Для того чтобы раскрутить до той же угловой скорости стержень массы и длины , необходимо совершить работу в _____ раз(-а) бό льшую, чем .

 

8 |

 

Решение:
Совершенная работа равна кинетической энергии вращательного движения стержня , где момент инерции стержня пропорционален массе и квадрату длины, (момент инерции стержня массы и длины относительно оси, проходящей перпендикулярно ему через середину стержня, равен ). Следовательно, работа по раскручиванию до такой же угловой скорости стержня вдвое бό льшей массы и в два раза длиннее будет в 8 раз больше: .

Тема: Работа. Энергия
Для того чтобы раскрутить стержень массы и длины (см. рисунок) вокруг вертикальной оси, проходящей перпендикулярно через его середину, до угловой скорости , необходимо совершить работу .

Для того чтобы раскрутить до той же угловой скорости стержень массы и длины необходимо совершить работу …

Решение:

Совершенная работа равна кинетической энергии вращательного движения стержня , где момент инерции стержня пропорционален массе и квадрату длины, (момент инерции стержня массы и длины относительно оси, проходящей перпендикулярно ему через середину стержня, равен ). Следовательно, работа по раскручиванию до такой же угловой скорости стержня вдвое меньшей массы, но в 2 раза длиннее будет в 2 раза больше: .

Тема: Работа. Энергия
На концах невесомого стержня длины l закреплены два маленьких массивных шарика. Стержень может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Стержень раскрутили до угловой скорости . Под действием трения стержень остановился, при этом выделилось 4 Дж теплоты.

Если стержень раскрутить до угловой скорости , то при остановке стержня выделится количество теплоты (в Дж), равное …

 

1 |

 

Решение:
Согласно закону сохранения энергии количество выделившейся теплоты равно убыли полной механической энергии, в данном случае – убыли кинетической энергии вращения: . Отсюда следует, что при уменьшении угловой скорости в 2 раза количество выделившейся теплоты уменьшится в 4 раза, то есть

Тема: Работа. Энергия
На рисунке показаны тела одинаковой массы и размеров, вращающиеся вокруг вертикальной оси с одинаковой частотой. Кинетическая энергия первого тела Дж. Если кг, см, то момент импульса (в мДж·с) второго тела равен …

 

50 |

 

Решение:
Момент импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен: , где J – момент инерции тела относительно оси вращения, угловая скорость его вращения. Момент инерции диска относительно указанной оси . Для нахождения используем значение кинетической энергии первого тела. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется по формуле . Отсюда , где – момент инерции кольца относительно оси вращения. Тогда момент импульса второго тела с учетом равенства массы m и радиуса R диска и кольца и одинаковых угловых скоростей вращения этих тел равен:

Тема: Работа. Энергия
На рисунке показаны тела одинаковой массы и размеров, вращающиеся вокруг вертикальных осей. Если частота вращения диска в два раза больше частоты вращения кольца, то отношение кинетических энергий равно …

 

 

Решение:
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется по формуле , где J – момент инерции тела относительно оси вращения, угловая скорость его вращения, связанная с частотой вращения соотношением . Моменты инерции тел относительно указанных осей с учетом равенства их масс и размеров равны и . Тогда отношение кинетических энергий диска и кольца равно .

Тема: Законы сохранения в механике
Шар массой , движущийся со скоростью , налетает на покоящийся шар массой (см. рис.).

Если удар абсолютно неупругий, скорость шаров (в м/с) после удара равна …

 

			0, 5
			0, 6
			1, 67

 

Решение:
В соответствии с законом сохранения импульса должно выполняться соотношение . Для рассматриваемого случая , откуда .

Тема: Законы сохранения в механике
Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты х изображена на графике :

Кинетическая энергия шайбы в точке С ______, чем в точке В.

 

			в 2 раза больше
			в 2 раза меньше
			в 1, 75 раза больше
			в 1, 75 раза меньше

 

Решение:
В точке А шайба имеет только потенциальную энергию. По закону сохранения механической энергии, и . Отсюда и . Следовательно, кинетическая энергия шайбы в точке С в 2 раза больше, чем в точке В.

Тема: Законы сохранения в механике
График зависимости кинетической энергии от времени для тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, имеет вид, показанный на рисунке …

 

 

Решение:
Кинетическая энергия тела , где и – проекции скорости тела на оси OX и OY соответственно. Для тела, брошенного под углом α к горизонту, , . Тогда . Это уравнение параболы со смещенной вершиной, ветви которой направлены вверх, причем . Поэтому график зависимости кинетической энергии тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, от времени имеет вид:

Тема: Законы сохранения в механике
График зависимости потенциальной энергии тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, от высоты подъема имеет вид, показанный на рисунке …

 

 

Решение:
Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести определяется формулой . Для тела, брошенного под углом к горизонту и в конце концов упавшего на землю, график зависимости потенциальной энергии от высоты подъема имеет вид, представленный на рисунке.

Тема: Законы сохранения в механике
Тело брошено под углом к горизонту. При его движении …

 

			импульс не сохраняется, проекция импульса на горизонтальное направление сохраняется
			импульс не сохраняется, проекция импульса на горизонтальное направление не сохраняется
			импульс сохраняется, проекция импульса на горизонтальное направление сохраняется
			импульс сохраняется, проекция импульса на горизонтальное направление не сохраняется

Решение:
На тело при его движении действует сила тяжести. Поэтому импульс тела не сохраняется. В то же время проекция силы тяжести на горизонтальное направление равна нулю. Следовательно, сохраняется проекция импульса на горизонтальное направление.

Тема: Законы сохранения в механике
Горизонтально летящая пуля пробивает брусок, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности. В системе «пуля – брусок» …

 

			импульс сохраняется, механическая энергия не сохраняется
			импульс сохраняется, механическая энергия сохраняется
			импульс не сохраняется, механическая энергия сохраняется
			импульс не сохраняется, механическая энергия не сохраняется

 

Решение:
Закон сохранения импульса выполняется в замкнутых системах. Система «пуля - брусок» не является замкнутой, так как на нее действуют сила притяжения к Земле и сила реакции опоры. Однако проекции этих сил на горизонтальное направление равны нулю, поэтому проекция импульса системы на указанное направление не изменяется. Поскольку речь идет о горизонтально летящей пуле и брусок может двигаться только в горизонтальном направлении, можно утверждать, что импульс системы сохраняется. Закон сохранения механической энергии выполняется в консервативных системах. В данном случае внешние силы консервативны (силами трения между бруском и гладкой поверхностью можно пренебречь), но есть внутренние неконсервативные силы, действующие в системе в момент пробивания пулей бруска и совершающие работу. Поэтому механическая энергия рассматриваемой системы не сохраняется.

Тема: Законы сохранения в механике
Шар массы , имеющий скорость v, налетает на неподвижный шар массы :

После соударения шары будут двигаться так, как показано на рисунке …

 

 

Решение:
Согласно закону сохранения импульса, должно выполняться соотношение , что означает, что должна сохраняться и величина импульса и направление. В ситуации, показанной на рисунке,

это соотношение выполняется.

Тема: Законы сохранения в механике
Теннисный мяч летел с импульсом в горизонтальном направлении, когда теннисист произвел по мячу резкий удар длительностью 0, 1 с. Изменившийся импульс мяча стал равным (масштаб указан на рисунке):

Средняя сила удара равна …

 

 

Решение:
Изменение импульса мяча равно . Величина (см. рис.). Следовательно, сила удара равна: .

Тема: Законы сохранения в механике
Фигурист вращается вокруг вертикальной оси с определенной частотой. Если он разведет руки в стороны, увеличив тем самым свой момент инерции относительно оси вращения в 1, 5 раза, то …

 

			частота вращения фигуриста и его кинетическая энергия вращения уменьшатся в 1, 5 раза
			частота вращения фигуриста возрастет в 1, 5 раза, а его кинетическая энергия вращения – в 2, 25 раза
			частота вращения фигуриста уменьшится в 1, 5 раза, а его кинетическая энергия вращения – в 2, 25 раза
			частота вращения фигуриста и его кинетическая энергия вращения возрастут в 1, 5 раза

Решение:
Согласно закону сохранения момента импульса, , где J – момент инерции фигуриста относительно оси вращения, – угловая скорость его вращения вокруг этой оси. Отсюда с учетом того, что , где n – частота вращения, . Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна: . Тогда . Таким образом, частота вращения фигуриста и его кинетическая энергия уменьшатся в 1, 5 раза.

 

Тема: Законы сохранения в механике
Два маленьких массивных шарика закреплены на невесомом длинном стержне на расстоянии друг от друг, как показано на рисунке:
Стержень вращается без трения в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей посередине между шариками, с угловой скоростью . Если шарики раздвинуть симметрично на расстояние , то угловая скорость будет равна …

 

 

Решение:
Согласно закону сохранения момента импульса, . Здесь J – момент инерции шариков относительно оси вращения, – угловая скорость вращения вокруг этой оси. Отсюда . Таким образом, угловая скорость уменьшится в 4 раза.

Тема: Законы сохранения в механике
Тело брошено под углом к горизонту. При его движении …

 

			импульс не сохраняется, проекция импульса на горизонтальное направление сохраняется
			импульс не сохраняется, проекция импульса на горизонтальное направление не сохраняется
			импульс сохраняется, проекция импульса на горизонтальное направление сохраняется
			импульс сохраняется, проекция импульса на горизонтальное направление не сохраняется

 

Решение:
На тело при его движении действует сила тяжести. Поэтому импульс тела не сохраняется. В то же время проекция силы тяжести на горизонтальное направление равна нулю. Следовательно, сохраняется проекция импульса на горизонтальное направление.

Тема: Законы сохранения в механике
Диск в одном случае скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости высотой h, а в другом случае соскальзывает с нее. Если трением можно пренебречь, то отношение скоростей диска у основания наклонной плоскости будет равно …

 

Решение:
В рассматриваемой системе «тело – Земля» действуют только консервативные силы, поэтому в ней выполняется закон сохранения механической энергии, применяя который можно найти искомую скорость диска в обоих случаях: и . С учетом того, что момент инерции диска относительно оси вращения и , получаем из первого уравнения , а из второго уравнения – . Тогда искомое отношение равно .

 

Тема: Законы сохранения в механике
Сплошной цилиндр и шар, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания с одинаковыми скоростями на горку. Если трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то отношение высот , на которые смогут подняться эти тела, равно …

 

 

Решение:
В рассматриваемой системе «тело – Земля» действуют только консервативные силы, поэтому в ней выполняется закон сохранения механической энергии, согласно которому , или , где J – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, – угловая скорость вращения вокруг этой оси, h – высота, на которую сможет подняться тело. Отсюда с учетом того, что , получаем: . Моменты инерции сплошного цилиндра и шара равны соответственно и . Тогда искомое отношение высот .

Тема: Законы сохранения в механике
Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки с одной и той же высоты. Если трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то отношение скоростей , которые будут иметь эти тела у основания горки, равно …

 

 

Решение:
В рассматриваемой системе «тело – Земля» действуют только консервативные силы, поэтому в ней выполняется закон сохранения механической энергии, согласно которому , или , где J – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, – угловая скорость вращения вокруг этой оси, h – высота, с которой скатывается тело. Отсюда с учетом того, что , получаем: . Отсюда . Моменты инерции сплошного и полого цилиндров равны соответственно: и . Тогда искомое отношение скоростей .

Тема: Законы сохранения в механике
Тело массой m, прикрепленное к пружине жесткостью k, может без трения
двигаться по горизонтальной поверхности (пружинный маятник).

Если А – амплитуда колебаний, то при смещении тела из положения равновесия на величину скорость тела составит …

 

 

Решение:
По условию задачи трение отсутствует. Следовательно, в системе выполняется закон сохранения механической энергии: , где А – амплитуда колебаний. Отсюда . С другой стороны, . Отсюда .

Тема: Элементы специальной теории относительности
-мезон, двигавшийся со скоростью (с – скорость света в вакууме) в лабораторной системе отсчета, распадается на два фотона: g₁ и g₂. В системе отсчета мезона фотон g₁ был