С помощью уравнений (5.3) и (5.4) можно оценить напряженное состояние грунта в любой точке, предварительно определив компоненты этих уравнений

В основу теории предельного равновесия положено представление о том, что предельное состояние возникает во всех точках рассматриваемого массива грунтов. Тогда система уравнений, описывающая такое напряженное состояние, должна включать уравнения равновесия и условие предельного равновесия, справедливые для каждой точки массива.

Основное развитие теория предельного равновесия получила при решении плоских задач.

 

19 - Виды критических нагрузок, действующих на грунты основания.

Если грунт обладает связностью, а ступени нагрузки не велики, то начальный участок Оа графика зависимостей s = f (р) на рисунке 17, а будет почти горизонтальным. Протяженность этого участка по оси давлений определится величиной σ _str структурной прочности грунта, а деформация будет иметь упругий характер. Для сыпучих грунтов или глинистых грунтов нарушенной структуры, не обладающих структурной прочностью, деформации уплотнения возникают сразу по мере приложения нагрузки.

При дальнейшем возрастании нагрузки (участок аб на рисунке 17, а) развивается процесс уплотнения. При этом перемещение частиц грунта под фундаментом имеет преимущественно вертикальное направление и приводит к уменьшению пористости грунта. Зависимость s = f (р) здесь очень близка к линейной, а развивающиеся во времени осадки стремятся к постоянной величине (Рисунок 17, б). Возникающие в основании под краями фундамента наибольшие касательные напряжения (Рисунок 14, в) всегда меньше предельных значений, то есть ни в одной точке основания не формируется предельное состояние.

Наибольшее напряжение, ограничивающее этот участок, называется начальной критической нагрузкой на основание, а изменение нагрузки от 0 до р _{нач. крит.} характеризует фазу уплотнения грунта.

Таким образом, можно сделать важное заключение: при возрастании среднего давления под подошвой фундамента до начальной критической нагрузки грунты находятся в фазе уплотнения и ни в одной точке основания не возникает предельного состояния. Поэтому любая нагрузка р ≤ р _{нач. крит.} является абсолютно безопасной для основания.

При дальнейшем увеличении нагрузки (участок бв на рисунке 17, а) в точках. Расположенных под краями фундамента, касательные напряжения по некоторым площадкам становятся равными их предельным значениям. По мере возрастания нагрузки эти точки объединяются в зоны, размеры которых увеличиваются (Рисунок 17, б).

Рисунок 17 – Зависимость конечной осадки от нагрузки (а)

и развитие осадки во времени при различных значениях р (б)

 

Если в остальной части основания по-прежнему развиваются деформации уплотнения, то здесь уже возникают сдвиговые деформации, имеющие пластический характер. Грунт в этих зонах как бы выдавливаются в стороны от оси фундамента, и график зависимости s = f (р) все больше отклоняется от линейного. Важно отметить, что во многих случаях по мере значительного увеличения нагрузки сверх р _{нач. крит.} развитие осадок приобретает незатухающий характер, то есть осадка со временем не стабилизируется и может достигать очень больших размеров (Рисунок 17, б).

Участок бв называют фазой сдвигов. Концу этой фазы соответствует нагрузка р_и , называемая предельной критической нагрузкой, при которой в основании образуются замкнутые области предельного равновесия и происходит потеря устойчивости грунтов основания, свидетельствующая о полном исчерпании его несущей способности.

В случае жесткого фундамента под его подошвой формируется уплотненное ядро грунта, как бы раздвигающее окружающий грунт в стороны. В зависимости от относительной глубины заложения подошвы фундамента d/b очертания областей предельного равновесия могут иметь различный характер (Рисунок 18).

При небольшой глубине заложения (d/b < 1/2) эти области значительно развиты в стороны от фундамента. В них происходит движение грунта вбок и вверх и от этого явления на поверхности основания образуются валы выпирания.

При средней глубине заложения фундамента (1/2 < d/b < 2) области предельного равновесия сжимаются, их границы приобретают S -образное очертание и также возможно образование валов выпирания.

Наконец, при значительной глубине заложения фундамента (d/b > 1/2) выпирание грунта на поверхности не отмечается, и области предельного равновесия локализуются внутри основания у боковых поверхностей фундамента. Однако это также сопровождается резким увеличением осадок, соответствующим характеру графика (Рисунок 17, а).

Нагрузки, соответствующие р _{нач. крит.} и р_и, называются критическими нагрузками на грунты основания. Их определяют методами теории предельного равновесия.

 

20 - Начальная критическая нагрузка.

По определению, начальная критическая нагрузка соответствует случаю, когда в основании под подошвой фундамента в единственной точке под гранью фундамента возникает предельное состояние.

Для нахождения величины р _{нач. крит.} в случае плоской задачи пользуются расчетной схемой рисунка 6. При этом необходимо иметь ввиду, что в случае центрально-нагруженного фундамента распределение контактных напряжений может быть принято по закону прямоугольника. Расчетная схема такой задачи приведена на рисунке 19.

Рисунок 19 – Расчетная схема для определения

начальной критической нагрузки

 

В основании выбирают некоторую точку М. В этой точке определяют контактное напряжение р, при котором в этой точке возникнет предельное напряженное состояние. Полное напряжение в точке М - сумма напряжений от собственного веса грунта, лежащего выше этой точки, и от местной дополнительной нагрузки интенсивностью р – q.

Вертикальное сжимающее напряжение от собственного веса грунта в точке М будет максимальным главным напряжением и при различных удельных весах грунта засыпки выше подошвы фундамента γ ' и ниже этого уровня γ запишется в виде уравнения (5.5):

σ _{l g} = q + γ z = γ ' d + γ z, (5.5)

 

Горизонтальное сжимающее напряжение будет минимальным главным напряжением; его можно выразить через коэффициент бокового давления грунта (5.6):

σ _{3 g} = ξ σ _{l g}, (5.6)

 

Примем для упрощения гидростатический закон распределения напряжений от собственного веса грунта, то есть при ξ = 1. Тогда:

 

σ _{3 g} = σ _{l g} = γ ' d + γ z, (5.7)

 

Максимальное и минимальное главные напряжения в точке М от местной полосовой нагрузки интенсивностью можно записать в соответствии с формулами (4.9) и (4.10) в виде уравнений (5.8) и (5.9):

 

σ _{1, p - q} = (p - γ ' d) / π (α + sin α); (5.8)

 

σ _{3, p - q} = (p - γ ' d) / π (α - sin α), (5.9)

 

где α - угол видимости (Рисунок 19).

 

Таким образом, в модели линейно деформируемой среды полные напряжения в точке М определяют по формулам (5.10) и (5.11):

 

σ ₁ = σ _{1, p - q} + σ _{l g} = (p - γ ' d) / π (α + sin α) + γ ' d + γ z, (5.8)

 

σ ₃ = σ _{3, p - q} + σ _{3 g} = (p - γ ' d) / π (α - sin α) + γ ' d + γ z, (5.9)

 

Предельное напряженное состояние в точке М реализуется при соблюдении условия (5.3). Подставив выражения (5.8) и (5.9) в формулу (5.3), получим выражение (5.10):

 

[(p - γ ' d) / π ] sin α - sin φ {[(p - γ ' d) / π ] α + γ ' d + γ z} = c cos φ, (5.10)

Выражение (5.10) можно рассматривать как уравнение границы области, проходящей через точку М, на контуре которой при действии под подошвой фундамента напряжения р имеет место состояние предельного равновесия.

Координаты точек этой границы определяются неизвестными z и α;. Решая уравнение (5.10) относительно z, получим выражение (5.11):

 

z = [(p - γ ' d) / π γ ] [(sin α / sin φ) - α ] - γ ' d / γ – c/ (γ. ctg φ), (5.11)

 

Это уравнение при заданном значении р в явном виде определяет ординату границы области предельного равновесия z при произвольных значениях угла видимости α;. Максимальную глубину границы этой области z _мах можно найти, взяв производную dz / dα и приравняв ее нулю:

 

dz / dα = [(p - γ ' d) / π γ ] [(cos α / sin φ) - 1] = 0, (5.12)

 

Из уравнения (5.12) следует, что при z = z _мах:

 

cos α = sin φ, то есть α = π /2 – φ и sin α = cos φ, (5.13)

 

 

Тогда, подставив выражение (5.13), получим для z _мах выражение вида (5.14):

 

z _мах = [(p - γ ' d) / π γ ] [(ctg φ + φ – π /2) - γ ' d / γ – c/ (γ. ctg φ), (5.14)

 

 

Решая уравнение (5.14) относительно р, найдем такое значение критического напряжения под подошвой фундамента, при котором область предельного равновесия развивается на заданную максимальную глубину (5.15) z _мах :

 

р _кр = [π (γ z _мах + γ ' d + c. ctg φ)] / (ctg φ + φ – π /2) + γ ' d, (5.15)

 

Из определения понятия р _{нач. крит.} в формуле (5.15)вначале следует принять z _мах = 0. Тогда в единственной точке основания под гранью фундамента будет выполняться условие предельного равновесия. При этом окончательно имеем формулу Пузыревского (5.16):

 

р _{нач. крит.} = [π (γ ' d + c. ctg φ)] / (ctg φ + φ – π /2) + γ ' d, (5.16)

 

Выражение (5.16) без учета сцепления грунта было впервые получено Н.П. Пузыревским, поэтому его часто называют формулой Пузыревского.

Для идеально связных грунтов (φ = 0; с > 0) к которым относят слабые глинистые грунты (илы), глинистые грунты в состоянии незавершенной консолидации и в некоторых случаях мерзлые глинистые грунты, приняв в формуле (5.16) φ = 0, получим (5.17):

 

р _{нач. крит.} = π c + γ ' d, (5.17)

 

Фундамент, запроектированный так, что напряжение под его подошвой не превышает начальной критической нагрузки, будет находиться в совершенно безопасном состоянии. Однако, как показывает практика, грунты основания при этом будут обладать резервом несущей способности.

 

21 - Нормативное сопротивление и расчетное давление.

Проведенными многочисленными наблюдениями за осадками построенных сооружений было установлено, что если допустить под подошвой центрально-нагруженного фундамента шириной b развитие зон предельного равновесия на глубину z _мах = ¼ b, то несущая способность основания остается обеспеченной. При этом осадки во времени затухают и стремятся к постоянной величине, а зависимость s = f (р) все еще оказывается достаточно близкой к линейной. Следовательно, при этих условиях для расчетов деформаций оснований можно использовать формулы теории линейного деформирования грунтов, основным понятием в которой является нормативное сопротивление грунта R^н (Рисунок 17, а)

 

Нормативное сопротивление соответствует наибольшему значению среднего сжимающего напряжения под подошвой фундамента, до достижения которого оказывается возможным для расчетов осадок использовать математический аппарат теории линейного деформирования грунта.

Тогда, подставив формулу (5.15) z _мах = ¼ b, получим (5.18):

 

R^н = [π (γ b/4+ γ ' d + c. ctg φ)] / (ctg φ + φ – π /2) + γ ' d, (5.18)

 

Это выражение часто представляют в виде трехчленной формулы (5.19):

 

R^н = М _γ γ b + М _q γ ' d + М_сc, (5.19)

 

где М _γ , М _q, М_с – безразмерные коэффициенты, зависящие от угла внутреннего трения грунта φ и вычисляемые по формулам (5.20), (5.21) и (5.22):

 

 

М _γ = π / 4 (ctg φ + φ – π /2), (5.20)

 

М _q = π / (ctg φ + φ – π /2) + 1, (5.21)

 

М _с = π ctg φ / (ctg φ + φ – π /2), (5.22)

 

Значения коэффициентов М _γ , М _q, М_с приведены в таблице 5.1.

 

 

22 - Предельная критическая нагрузка.

Предельная критическая нагрузка р_и соответствует напряжению под подошвой фундамента, при котором происходит исчерпание несущей способности грунтов основания (Рисунок 17). При этом в основании формируются развитые области предельного равновесия, что сопровождается при относительно небольшой глубине заложения фундамента выдавливанием грунта на поверхность основания и образованием валов выпирания (Рисунок 18). Таким образом, нагрузка, соответствующая р_и , приводит к полной потере устойчивости грунта основания и является абсолютно недопустимой для проектируемого сооружения.

Для идеально связных грунтов (φ = 0; с > 0) определение критической нагрузки выполняют по формулам:

 

плоская задача (5.23):

р_и = 5, 14 с + γ ' d, (5.23)

 

осесимметричная (5.24):

р_и = 5, 7 с + γ ' d, (5.24)

 

Экспериментальные исследования показали, что пренебрежение собственным весом грунта основания приводит к занижению предельной критической нагрузки.

В практических расчетах величину р_и часто заменяют вертикальной силой N_и , представляющей собой равнодействующую предельной критической нагрузки, действующей по некоторой площади загружения.

В практических расчетах обычно используют инженерные способы решения возникающих задач.

 

23 -Практические способы расчета несущей способности и устойчивости оснований.

1 – Расчет основания по несущей способности

2 – Расчет фундамента на плоский сдвиг

3 – Расчет фундамента по схеме глубинного сдвига

4– Расчет на опрокидывание

 

24 - Расчет основания по несущей способности.

Практические способы расчета устойчивости оснований фундаментов и сооружений регламентированы существующими строительными нормами. Исходными данными для таких расчетов являются:

- инженерно-геологическое строение основания, включая наивысшее положение уровня подземных вод;

- расчетные значения физико-механических характеристик грунтов всех слоев основания (удельный вес γ ' и γ соответственно выше и ниже подошвы фундамента, φ - угол внутреннего трения, с - удельное сцепление);

- размеры подошвы фундамента: его ширина b, длина l и глубина заложения d;

- расчетные значения вертикального F_v и F_h усилий, а также расчетное значение момента М, отнесенное к плоскости подошвы фундамента.

Цель расчетов по несущей способности – это обеспечение прочности и устойчивости грунтов основания, а также недопущение сдвига фундамента по подошве и его опрокидывание.

При выборе расчетной схемы следует руководствоваться статическими и кинематическими возможностями формирования поверхностей разрушения грунтов основания.

Расчет оснований по несущей способности ведут согласно СНиП 2.02.01 – 83. Несущая способность считается обеспеченной при выполнении условия (6.1):

 

F = γ _c F_u. / γ _n, (6.1)

 

где F – равнодействующая расчетной нагрузки на основание при соответствующих значениях F_v и F_h, наклоненная к вертикали под углом = arctg (F_h / F_v); F_u. – сила предельного сопротивления (равнодействующая предельной нагрузки); γ _c - коэффициент условий работы, принимаемый: для песков, кроме пылеватых, 1; для песков пылеватых, а также глинистых грунтов в стабилизированном состоянии – 0, 9; для глинистых грунтов в нестабилизированном состоянии – 0, 85; для скальных грунтов: невыветрелых и слабовыветрелых – 1, 0; выветрелых – 0, 9; сильно выветрелых – 0, 8; γ _n - коэффициент надежности по назначению сооружения, принимаемый равным 1, 2; 1, 15; 1, 10 соответственно для зданий и сооружений I, II, III классов.

 

 

25 - Расчет фундамента на плоский сдвиг.

∑ F_sa ≤ γ _c ∑ F_sr. / γ _n, (6.6)

 

где ∑ F_sa и ∑ F_sr. - соответственно суммы проекций на плоскость скольжения расчетных сдвигающих и удерживающих сил. Эти величины можно выразить формулами (6.7) и (6.8):

 

∑ F_sa = F_h. + E_а, (6.7)

 

∑ F_sr. = (F_υ - WA) tg φ +Ас + Е_п, (6.8)

 

где F_h. и F_υ - касательная и нормальная составляющие равнодействующей F в уровне подошвы фундамента; W – взвешивающее давление воды на подошву фундамента при высоком залегании уровня подземных вод; A - площадь подошвы фундамента; E_а и Е_п - равнодействующие активного и пассивного давления грунта на фундамент (их определение будет рассмотрено в следующей лекции).

 

Рисунок 21 - Схема к расчету фундамента на плоский сдвиг

 

26 - Понятие о коэффициенте устойчивости.

 

Во многих случаях при инженерных расчетах оказывается удобно использовать понятие коэффициента устойчивости k_st.

Коэффициент устойчивости определяется как отношение величины предельных воздействий на сооружение или основание к их расчетным, реально действующим величинам.

В этом случае при k_st = 1 рассматриваемый объект находится в состоянии предельного равновесия, при k_st > 1 обладает запасом устойчивости.