Студопедия — Минск 2011
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Минск 2011







 

СОДЕРЖАНИЕ

ВЕРОЯТНОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ…………...……………….....  
1. Пространство элементарных событий. Операции над случайными событиями ……………….…......  
2. Элементы комбинаторики. Непосредственный подсчет вероятностей..............................................  
3. Геометрические вероятности …………....…….....  
4. Теоремы сложения и умножения вероятностей  
5. Формула полной вероятности и формула Байеса  
6. Повторные независимые испытания (схема Бер­нулли) …….............................................…………..  
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ….......………………....  
7. Дискретная случайная величина ………......…...  
8. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности ……...............................................…...  
9. Закон больших чисел …………......……………....  
10. Распределение функции одного и двух случайных аргументов ……...............................................  
ПРИЛОЖЕНИЯ ……………………………………....  
ЛИТЕРАТУРА ………………………………………...  

 

ВЕРОЯТНОСТЬ.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Пространство элементарных событий.
Операции над случайными событиями

 

В основе теории вероятностей лежит понятие случайного эксперимента. Эксперимент считается случайным, если он может закончиться любым из совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента нельзя предсказать, каким именно.

Примеры случайного эксперимента: бросание монеты, игральной кости, проведение лотереи, азартные игры, стрельба по цели, поступление звонков на телефонную станцию и т.п.

Различные результаты эксперимента называют исходами.

Определение 1. Множество всех взаимоисключающих исходов эксперимента называется пространством элементарных событий. Взаимоисключа­ющие исходы — это те, которые не могут наступить одновременно.

Пространство элементарных событий будем обозначать буквой Ω, а его исходы — буквой ω.

Определение 2. Произвольное подмножество пространства элементарных событий называется событием. Событие может состоять из одного или нескольких элементарных событий, а также из счетного или несчетного числа элементарных событий.

Событие Ω, состоящее из всех исходов эксперимента, называется достоверным событием. Оно обязательно происходит, так как эксперимент всегда заканчивается каким-нибудь исходом.

Пустое множество исходов эксперимента называется невозможным событием и обозначается символом ø.

Определение 3. Суммой двух событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, входящих либо в А, либо в В. Другими словами, под понимают следующее событие: произошло или событие А, или событие В, либо они произошли одновременно, т.е. произошло хотя бы одно из событий А или В (рис. 1.1а).

Определение 4. Произведением двух событий А и В (обозначается АВ) называется событие, состоящее из тех исходов, которые входят как в А, так и в В. Иными словами, АВ означает событие, при котором события А и В наступают одновременно (рис. 1.1б).

Определение 5. Разностью двух событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее из исходов, входящих в А, но не входящих в В.

Смысл события состоит в том, что событие А наступает, но при этом не наступает событие В (рис. 1.1в).

Определение 6. Противоположным(дополнительным) для события А (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в А. Наступление события означает просто, что событие А не наступило.

Если события изобразить на плоскости, то результат определенных операций над событиями выглядит следующим образом:

Рис. 1.1

Определение 7. События А и В называются несовместимыми, если нет исходов, входящих как в А, так и в В, т.е. АВ = ø.

Определение 8. Говорят, что событие А содержится в событии В (обозначается ), если все исходы события А входят в событие В.

 

Свойства операций над событиями

1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ø;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) .

 

 

Пример 1.1. Два шахматиста играют подряд две партии. Под исходом опыта будем понимать выигрыш одного из них в i -й партии или ничью. Построить пространство элементарных исходов.

Решение. Обозначим события — в i -й партии выиграл первый игрок, — второй, С — ничья. Тогда возможные исходы игры:

1. Обе партии выиграл первый игрок .

2. Обе партии выиграл второй игрок .

3. Обе партии закончились вничью .

4. В первой партии выиграл первый игрок, во второй — второй .

5. В первой выиграл первый игрок, во второй — ничья .

6. В первой партии победа второго игрока, во второй — первого .

7. В первой — победа второго игрока, во второй — ничья .

8. В первой — ничья, во второй — победа первого игрока .

9. В первой — ничья, во второй — победа второго игрока .

Ответ: = , , , , , , , , .

 

 

Пример 1.2. Пусть А, В, С — три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С:

1. Произошло только А.

2. Произошло А и В, но С не произошло.

3. Все три события произошли.

4. Произошло, по крайней мере, одно из событий.

5. Произошли, по крайней мере, два события.

6. Произошло одно и только одно событие.

7. Произошли два и только два события.

8. Ни одно событие не произошло.

9. Произошло не более двух событий.







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 509. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Классификация холодных блюд и закусок. Урок №2 Тема: Холодные блюда и закуски. Значение холодных блюд и закусок. Классификация холодных блюд и закусок. Кулинарная обработка продуктов...

ТЕРМОДИНАМИКА БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ. 1. Особенности термодинамического метода изучения биологических систем. Основные понятия термодинамики. Термодинамикой называется раздел физики...

Травматическая окклюзия и ее клинические признаки При пародонтите и парадонтозе резистентность тканей пародонта падает...

Тема: Изучение приспособленности организмов к среде обитания Цель:выяснить механизм образования приспособлений к среде обитания и их относительный характер, сделать вывод о том, что приспособленность – результат действия естественного отбора...

Тема: Изучение фенотипов местных сортов растений Цель: расширить знания о задачах современной селекции. Оборудование:пакетики семян различных сортов томатов...

Тема: Составление цепи питания Цель: расширить знания о биотических факторах среды. Оборудование:гербарные растения...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия