Условные математические ожидания. 1) Так как случайные величины IA и IВ – дискретные, то

 

1) Так как случайные величины I_A и I_В – дискретные, то

Другое решение. Определяемая случайной величиной I_B s -алгебра F _В состоит из 4 множеств: W, Æ, В и . Тогда

. Так же

. Очевидно, что вообще для любой случайной величины x и . Наконец,

.

Таким образом, если положить , то

F .

12) Так как h – дискретная случайная величина с распределением Р (h = а)=1, то рассмотрим , где. Если b = a, то , и так как Р (А) = 1, то

.

Действительно, вероятностные меры Р и Р_А совпадают, потому что для любого события С, так как .

Другое решение: Определяемую случайной величиной h s -алгебру F _h можно считать состоящей из двух множеств: W и Æ. Так как и , то F _h .

13) Определяемая случайной величиной h s -алгебра F _h порождается событиями и всеми борелевскими множествами, принадлежащими [1/2; 1], т.е. F _h = {[0; 1/2] B; B }, где B Î (1/2; 1] – борелевское.

Если А [0; 1/2] = Æ, А Î F _h то

.

(1)

Если А Ç [0; 1/2] = Æ, А Î F _h, то

.

(2)

Рассмотрим теперь искомое условное математическое ожидание . Эта случайная величина должна быть F _h -измерима.

Докажем, что она почти наверно постоянна на [0; 1/2]. В самом деле, если a и b – два значения z на [0; 1/2], то должно пересекаться с [0; 1/2]. Но ни одно собственное подмножество [0; 1/2] не включается в F _h. Следовательно, . Точно так же . Отсюда следует, что а = = b, т.е. z на [0; 1/2] постоянна почти наверно.

Поэтому из (1) и (2) следует, что в качестве z можно взять

.

(3)

14) Рассмотрим сначала структуру s -алгебры F _h, определяемой случайной величиной h. По определению эта s -алгебра порождается множествами , где В – любое борелевское множество на числовой прямой R. Пусть у Î В. Тогда оба решения уравнения принадлежат , т.е. это подмножество отрезка [0; 1] должно быть симметричным относительно центра 1/2. Но это значит что любое подмножество, являющееся элементом F _h будет симметричным относительно 1/2. (См. рис.)

Возьмем теперь любое А Î F _h. Пусть .

Тогда .

Сделаем в интеграле по А ₂ замену w ® 1– w и учтем, что при этом направление интегрирования меняется на противоположное. Тогда

.

Так как постоянная функция очевидно измерима относительно F _h, то .

Интуитивно этот результат очевиден: он дает среднее значение случайной величины x в двух симметричных относительно 1/2 точках: и .

15) Найдем последовательно маргинальную плотность р_h (y) и условную плотность р _{( x | h )}(y):

;

.

Отсюда получаем

.