Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Арифметическое представление пространства и времени





При абстрактном рассмотрении про­странство и время представляются вначале просто как измеряемые величины. Потреб­ность в измерении появляется даже раньше, чем происходит оформление математики как теоретической науки, например при землемерных работах или в астрономии, где необходимо считать дни и годы. Но любой измеримый объект, вообще говоря, характеризуется своей мерностью, то есть количеством мер, которыми необходимо оперировать, чтобы определить его вели­чину. Например, линия, характеризуемая только своей длиной, является одномерной, тогда как поверхность уже двухмерна (дли­на и ширина), а пространство — трехмерно (высота или глубина, длина и ширина). Кроме того, отмеривание предполагает, что для каждого из трех измерений опреде­ляют точку отсчета и единицу измерения, которую откладывают, начиная с исходной точки, столько раз, сколько необходимо, чтобы полностью покрыть измеряемую ве­личину. Так, и время оказывается измери­мым, поскольку можно определить основ­ную единицу времени, например продолжи­тельность дня или секунды, и можно отсчитать эту основную единицу столько раз, сколько необходимо, начиная с данной


 

 


точки отсчета. Таким образом, время пред­ставляет собой одномерную сущность в том же смысле, что и линия, которая по этой причине может его символизировать. Поскольку пространство и время — изме­ряемые величины, их можно определить ко­личественно, используя для этого меру. На этом уровне абстрагирования пространство и время не отличаются от чисел и, похоже, могут являться объектом изучения науки о числах или арифметики.

а) Пифагорова арифметика

Пифагорейцы попытались дать чисто арифметическое определение пространства, отождествив точку в пространстве с ариф­метической единицей. Такое отождествле­ние оправданно при решении задач, связан­ных с точным измерением величин. Пред­положим, что у нас есть измеряемая величина (например, отрезок AB), тогда, конечно, может случиться так, что единица измерения будет точно укладываться (один или несколько раз) в измеряемой величине:

Но такая возможность является исключе­нием. Если измеряемая величина содержит по отношению к точно откладываемой еди­нице измерения избыток или недостаток, необходимо будет для измерения этого из­бытка или недостатка взять дробную часть этой единицы измерения:

Если хотят добиться точного значения, до­статочно взять более мелкую единицу из­мерения: например, отрезок в 2, 5 см содер­жит ровно 25 мм. Следовательно, чтобы иметь возможность измерить любое про-


странство, достаточно взять за единицу из­мерения наименьшую возможную часть пространства, то есть точку.

Любая геометрическая операция, сводя­щаяся к измерению величины, может, сле­довательно, найти свое точное соответ-ствие в арифметическом действии. В одно­мерном случае измерение, состоящее в откладывании единицы, начиная от точки отсчета, является сложением:

Измерение поверхности предполагает, что, определив ее длину, определяют также ее ширину — размерность, перпендикулярную длине. Следовательно, надо произвести два измерения в виде двух перпендикулярных линий. По-латыни говорят: " Ducere lineam in lineam", и эта операция есть productio, или произведение результата, то есть ум­ножение:

Наиболее характерной формой умножения является возведение в квадрат (1 χ 1 = l2); оно позволяет определить единицу площади I2, или квадрат со стороной 1. Умножив на дополнительное измерение, можно опреде­лить единицу объема I3, или куб с ребром 1. При таком подходе видно, что существу­ет полное соответствие между арифмети­ческими и геометрическими операциями. Это также означает, что арифметические операции должны быть выражены через их геометрическое представление. При этом, если количественную величину рассматри­вать только как число, может показаться, что умножение не отличается от сложения. Рассуждая таким образом, умножение 2 на 3 можно отождествить со сложением три раза по два:

2x3 = 6

2 + 2 + 2 = 6.


 

 


Но с точки зрения пифагорейской арифме­тики сложение, которое сохраняет ту же размерность, качественно отличается от умножения, которое производит дополни­тельную размерность:

Отличие особенно ощутимо в случае опера­ций только с единицей, поскольку ее при­бавление к самой себе порождает ряд целых чисел, в то время как ее умножение на саму себя создает ряд единиц меры в последова­тельных измерениях:

1 + 1 = 2; 1 + 1 + 1 = 3,... 1 χ 1 = \2; 1 χ 1 χ 1 = I3.

Впрочем, в этом случае сама арифметичес­кая формула показывает, что умножение не сводится к повторению операций сложения. Следовательно, полное соответствие арифметических и геометрических опера­ций позволяет изобразить геометрически характерные свойства числа. Например, ре­зультат умножения целого числа на само себя может быть представлен в виде квад­рата, тогда как умножение двух различных целых чисел дает прямоугольник:

Представляется оправданной и обратная операция, с помощью которой характерные геометрические фигуры (линия, квадрат, прямоугольник, треугольник и т. д.) можно представить арифметически, используя точ­ки, из которых они состоят.

Тем не менее данное предположение оказалось ложным. В самом деле, если до­пустить, что линии состоят из точек, тогда необходимо, чтобы данный отрезок прямой


линии всегда можно было выразить опре­деленным числом точек. Таким образом, необходимо, чтобы отношение длин двух отрезков всегда можно было выразить арифметически в виде отношения целых чи­сел. Однако сам Пифагор доказал, что ес­ли, предположив такую возможность, по­пытаться выразить соотношение между длиной стороны квадрата и длиной его диагонали, то получаются противоречивые следствия:

Возьмем квадрат со стороной а и диагона­лью d. Предположим, что отношение а к d можно записать как отношение меж­ду целыми числами, то есть в виде дроби (μ ί α). Приведем это соотношение к прос­тейшему выражению таким образом, что­бы а и d были взаимно простыми числами, то есть не имели никакого другого общего делителя, кроме единицы.

Теорема Пифагора дает простое соотно­шение между and. Действительно, в равнобедренном прямоугольном треу­гольнике АСВ квадрат, построенный на гипотенузе d, равен сумме квадратов, по­строенных на сторонах прямого угла, где каждая сторона равна а:

(P = 2d! (Е).

Таким образом, d2 равно целому числу, умноженному на 2, то есть четному числу, а поскольку корни четного квадрата числа четные, то и d является четным числом. Так как а и d являются взаимно простыми числами, они не могут иметь общий дели­тель, равный 2, и если d — четное число, то α — нечетное. Но если d является чет­ным числом, его можно разделить на 2. Значит:

Уравнение (Е) может, таким образом, быть представлено как:

(2с)2 = 2^ или 4с2 = 2 или 2с2 = а*.


 

 



Таким образом, а2 равно четному числу, и поскольку корни четного квадрата явля­ются четными числами, то а само являет­ся четным*.

Таким образом, если длину стороны квад­рата выразить определенным числом то­чек, то невозможно длину его диагонали выразить также определенным числом. Следовательно, они не имеют наименьшей общей меры, то есть эти длины несоиз­меримы. Этот результат тем более впечат­ляющий, что между площадями квадратов, возведенных на этих двух линиях, сущест­вует очень простое соотношение — Ч г, поскольку квадрат, построенный на диаго­нали данного квадрата, имеет площадь вдвое большую, чем площадь данного квадрата.

Если взять квадрат со стороной 1, то его диагональ будет являться стороной квад­рата, площадью равной 2, или, другими словами, ее длина будет равняться " корню из 2", поскольку на пифагорейском языке термин " корень" обозначает линию, на которой возводят квадрат. Нет ничего про­ще, чем геометрическое построение тогда как арифметически определенным числом эту величину выразить невозмож­но. В результате после провала пифагорей­ской программы греки перешли исключи­тельно к геометрической ориентации своей математики, при которой сами арифме­тические операции изображаются геомет­рически.

Однако геометрическое изображение
приводит к парадоксальным выводам.
Нет ничего проще, построив отрезок такой
длины геометрически, отложить его цир­
кулем на линии, разделенной на единицы
(где единица — катет треугольника). По­
скольку отрезок больше единицы
и меньше двух, можно попытаться найти,
разбивая единицу на части, меру длины,
позволяющую его измерить. Но поскольку
доказано, что 1 и несоизмеримы, сле­
дует признать, что, как бы мелко мы ни
дробили единицу, мы никогда не достиг­
нем

1 См.: Евклид. Начала. Кн. X. Приложение 27. Использованное рассуждение было подтвер­ждено Аристотелем в " Первой аналитике". Гл. 23, 41 а 26—27 (Аристотель. Соч.: В 4 т. М., 1978. Т. 2. С. 168).


Тем не менее такое дробление можно осуществлять столько раз, сколько сущест­вует целых чисел, то есть бесконечное число раз (хотя на рисунке указаны лишь несколь­ко делений на два, соответствующих после­довательным степеням двойки). Каждое из этих делений соответствует локализации точки на отрезке между 1 и 2, но бесконеч­ное число этих точек не исчерпывает число точек отрезка, потому что ни одна из них не соответствует той, на которой кончается длина

Этот парадокс объясняет, почему пифа­горейцы выбрали термин " иррациональ­ный" для обозначения На древнем мате­матическом языке " рацио" (" raison" — ра­зум) обозначает определенное соотношение между двумя членами. В математическом смысле число является иррациональным просто потому, что оно не находится в стро­го определенном соотношении со стороной квадрата. Но выбор термина " иррациональ­ный" для обозначения того, что, по сути, есть лишь простая несоизмеримость, пока­зывает, что пифагорейцы ощутили неудачу своего учения как потрясение основ разум­ности. Однако это потрясение, начавшееся внутри базисных положений пифагорейской школы, привело к следствиям, выходящим за пределы их теории. Действительно, дока­зательство того, что операция деления дан­ной линии пополам, сколько бы ее ни повто­рять, никогда не сможет исчерпать совокуп­ность всех точек, составляющих эту линию, привело к появлению аргументов, которые Зенон направил против пифагореизма.

Ь) Аргументы Зенона

Согласно свидетельству Платона рас­суждения Зенона из Элей направлены на то, чтобы поддержать тезис Парменида о


 

 


единстве и непрерывности бытия и опроверг­нуть пифагорейский тезис множественности:

В действительности это сочинение поддер­живает рассуждение Парменида против тех, кто пытается высмеять его, утверж­дая, что если существует единое, то из этого утверждения следует множество смешных и противоречащих ему выводов. Итак, мое сочинение направлено против допускающих многое, возвращает им с из­бытком их нападки и старается показать, что при обстоятельном рассмотрении их положение " существует многое" влечет за собой еще более смешные последствия, чем признание существования единого'.

Учение Парменида о едином бытии, по су­ществу, является антитезой пифагорейского учения. Пифагорейское учение предполагает множественность и дискретность, посколь­ку в последовательности чисел имеет место резкий скачок от одной единицы к другой и в то же время между точками, которые геометрически изображают числа, сущест­вует пустое пространство. Напротив, бытие Парменида, как и геометрическое простран­ство, " одно непрерывное" 2. Несомненно, что тезис Парменида имеет парадоксальные и противоречивые следствия3. Но можно надеяться придать ему некоторую обосно­ванность, показывая, что противополож­ный тезис приводит к следствиям еще более смехотворным и противоречивым. Именно этой задаче посвятил себя Зенон со всей диалектической виртуозностью, от которой у нас, к сожалению, сохранились лишь неко­торые результаты.

Первый аспект его аргументации на­правлен прежде всего против пифагорей­ского тезиса, согласно которому " многое состоит из сложения единиц'" 1. Действи­тельно, для того чтобы единица производи­ла многое путем последовательных сложе­ний, нужно, чтобы сложение или вычитание единицы могло сделать большим или мень­шим количество, к которому ее прибавля­ют или из которого вычитают. Однако пи­фагорейцы сами отождествляют единицу

'Платон. Парменид. 128 cd // Соч.: В 4 т. М., 1993. Т. 2. С. 348.

2 Парменид. В. 8 6 (ДК) // Фрагменты ранних греческих философов. Ч. 1. М., 1989. С. 290.

3Ср. наст. изд. Гл. 6. С. 189—190.

4 Зенон в изложении Филопона: Philopon. Commentaire ä Aristote, Physique. Ed. Acad. Berol. P. 42 (29 A 21 DK).


с точкой, которая не может увеличивать то, к чему ее прибавляют. В самом деле, " плос­кость и линия, если их прибавлять, в одном случае увеличивают, а в другом нет..." 5. Они способны увеличивать то, к чему их прибав­ляют, если это сложение происходит в соот­ветствии с их собственной размерностью. Например, линия, обладающая длиной без толщины, может добавлять свою длину к уже существующей длине, но она не может образовать площадь, добавляя к другой ли­нии толщину, которой она не обладает:

Аналогично нельзя добавлять площади к площадям, чтобы получить объемы. Но если линии и площади могут добавляться друг к другу в том смысле, в котором они являются одно- или двухмерными, то точка — это то, что не имеет размерности. Таким образом, если единица точечная, ее нельзя прибавить к самой себе, чтобы составить множество: прибавление точки к самой себе " совершенно не" 6 увеличит ее и никогда нельзя будет выйти за пределы единицы, чтобы образовать множественность.

Эта неспособность точки выйти за свои пределы проиллюстрирована хорошо из­вестными аргументами (апориями), с помо­щью которых Зенон показывает невозмож­ность объяснить движение с точки зрения пифагорейских тезисов. Первый из его ар­гументов — это апория " Дихотомия", или бесконечное деление траектории пополам:

...О несуществовании движения на том ос­новании, что перемещающееся [тело] должно дойти до половины прежде, чем до конца7.

Чтобы добраться из А в В, действительно, нужно сначала достичь С — середины AB, но, чтобы добраться от А до С, нужно сначала достичь D — середины АС, E — се­редины AD, и так до бесконечности:

5 Зенон в изложении Аристотеля см.: Ари­стотель. Метафизика. III 4, 1001 b 11—13 // Соч.: В 4 т. М., 1975. Т. 1. С. 114.

'Там же. 13.

''Аристотель. Физика. VI 9, 239 b 11—13 // Соч. М., 1981. Т. 3. С. 199.


 

 


Таким образом, никогда не удастся выйти из А, чтобы достичь В, поскольку для этого необходимо преодолеть беско­нечность точек одна за другой, что невоз­можно за " конечное время" '.

Второй аргумент — это апория, кото­рую называют " Ахилл" 2, потому что она показывает, что, как бы быстро ни бежал Ахилл, он никогда не сможет настичь чере­паху, если на старте она была на какое-то расстояние впереди него:

Самое медленное [существо] никогда не сможет быть настигнуто в беге самым быстрым, ибо преследующему необходи­мо прежде прийти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более мед­ленное всегда должно будет на какое-то [расстояние] опережать [преследующего]3.

Действительно, когда Ахилл достигнет точ­ки Р, откуда стартовала черепаха, послед­няя продвинется до точки Pi, но, когда он будет в Pi, она будет в Р2, и так до бес­конечности:


случае необходимо признать, что в данное мгновение стрела занимает длину (напри­мер, CD), где она " находится в равном [себе месте]" 6, то есть занимает длину, рав­ную самой себе. Однако необходимо при­знать, что " всегда... всякое [тело] покоит­ся" 7 или перемещается, потому что покой и движение противоположны и ничего тре­тьего быть не может. Однако находиться в состоянии покоя означает быть в про­странстве, точно равном самому себе. В данное мгновение стрела, таким образом, неподвижна в CD:

Быть в движении означало бы для нее не совпадать с CD, а перейти за пределы D. Таким образом, если допустить, что " пере­мещающееся [тело] в момент " теперь" все­гда [находится в равном себе месте]" 8, то необходимо также допустить, что движение — это последовательность неподвижных состояний.


" И это рассуждение основывается на делении пополам", то есть в том, что касается ее принципа, эта апория такая же, как апория " Дихотомии"; " отличается же [от предыдущего] тем, что взятая величина делится не на две равные части" 4. Дейст­вительно, начальную стартовую разницу АР делят не на две равные части, а в соот­ветствии с числом, которое выражает со­отношение между скоростью Ахилла и скоростью черепахи; при этом показыва­ется, что, как бы мала ни была эта разница, всегда можно найти еще мень­шую величину, и она никогда не будет нулевой.

" Третье, о котором только что было упомянуто, состоит в том, что летящая стрела стоит неподвижно; оно вытекает из предположения, что время слагается из [от­дельных] " теперь" 5. Действительно, в этом

1 Аристотель. Физика. VI 2, 233 а 22—23 // Соч. Т. 3. С. 183.

2 См. там же. 9, 239 b 14. С. 199.

'Там же. 15—18.

" Там же. 18—20.

5 Там же. 30—32. С. 200.


с) Содержание континуума

Внутренние трудности пифагорейского учения и успех аргументации элеатов окон­чательно убедили греческих математиков встать на позиции геометрии — науки о не­прерывном пространстве. Однако, как бы ни была теоретически интересна греческая математика, особенно модель всякой тео­ретической науки, содержащаяся в " Нача­лах" Евклида, исключительно геометричес-кая ориентация математики имеет все же тот недостаток, что величина континуума не поддается вычислению. Правда, проце­дуры геометрического построения позволя­ют определить простым и точным спосо­бом величины, которые арифметика не мо­жет определить точно, например иррациональную величину Но геомет­рическое построение с помощью линейки и циркуля гораздо беднее возможными

«Там же. 6. С. 199. 'Там же. 5—6. " Там же. 6—7.


 

 


комбинациями по сравнению с операци­ями вычисления. С появлением современ­ной науки сведение математики к геомет­рии стало все больше рассматриваться как препятствие на пути развития знания. Именно это препятствие математики, на­чиная, в частности, с Кеплера, пытались обойти, выдвигая процедуры вычисления континуума, то есть процедуры, позволя­ющие при рассмотрении величины кон­тинуума применить арифметические опе­рации.

Одним из первых примеров таких процедур является доказательство Кеп­лером положения (уже найденного Архи­медом геометрически) о равенстве площа­ди круга половине произведения радиуса на длину окружности. Кеплер полагает, что площадь круга образуется путем сложения одних радиусов с другими.

Для этого надо предположить, что каждый радиус имеет площадь, которую можно отождествить с площадью бесконечно уз­кого треугольника с высотой, равной ради­усу, и основанием, равным длине точки на окружности. Площадь такого треугольни­ка равна половине произведения высоты (R) на основание (равное точке, то есть нулю):

Если обозначить количество точек окруж­ности через С, то будет видно, что в круге столько же радиусов, сколько и таких то-


чек, или что площадь круга равна произ­ведению площади каждого радиуса на С:

Таким было положение, которое необходи­мо было доказать. В своей " Геометрии не­делимых" Кавальери систематически ис­пользовал подобные процедуры. Таким об­разом, он заново доказывал теоремы Евклидовой геометрии, рассматривая ли­нии как состоящие из точек, площади — как состоящие из линий, а объемы — как состоящие из площадей. Например, Евклид доказал, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Чтобы арифметически интерпре­тировать это положение, можно рассмат­ривать треугольник как образованный множеством параллельных линий, заполня­ющих его площадь от вершины до основа-

ния. Эти линии могут быть определены количеством содержащихся в них точек (на­пример, число Ъ определяет величину ос­нования), а число этих линий — количест­вом (h) точек, находящихся на их пересече­нии с высотой. Таким образом, получается ряд h чисел, регулярно возрастающих от вершины (равной точке, то есть равной ну­лю) до основания (равного Ь). А согласно простому правилу исчисления рядов сумма их членов равна половине произведения суммы крайних членов на количество чле­нов. Например:

Если применить это правило к арифмети­чески определенному треугольнику, то мы получим формулу, ранее доказанную Евк­лидом:


 

 


ς _ (нуль + b)h _ b χ h
*~ 2 - 2

Таким же способом заново доказывается теорема о том, что площадь трапеции рав­на половине произведения суммы основа­ний на высоту. Следует отметить, что при таком подходе геометрические фигуры сно­ва выглядят как если бы они были состав­лены из чисел, расположенных в виде тре­угольника или трапеции:

Таким образом, геометрия неделимых снова пускает в ход пифагорейскую интер­претацию.

Однако " обоснования" этих методов " зиждутся" исключительно " на правильнос­ти результатов", на " правильности, дока­занной из других оснований" 1. Но у методи­ки, которая приводит к результату, недо­стает ясности, и она может даже рассматриваться как некорректно обосно­ванная. Например, методика Кеплера сос­тоит в умножении определенного количест­ва (длины радиуса) на бесконечно малое количество (точку окружности).

Однако, в соответствии с обычными арифметическими правилами, необходимо было бы либо рассматривать бесконечно малое количество как нуль (и в этом случае его произведение на R было бы равно ну­лю), либо рассматривать это количество как какую-то определенную величину (и в этом случае ее произведение на R не было бы равно R). Тем не менее " нельзя обойтись без представления", что бесконечно малые " не равны нулю, но они столь незначитель­ны, что их можно оставить без внимания" 2. Что касается метода Кавальери, то он так-


же неправилен — в том смысле, что парал­лельные линии, составляющие площадь треугольника или трапеции, рассматрива­ются как члены арифметической прогрес­сии, хотя нет возможности определить, на­сколько один член прогрессии отличается от другого (и просто предполагается, что это отличие равняется одной и той же вели­чине). Наиболее же парадоксальным явля­ется то, что, несмотря на приближенный характер и даже противоречивость мето­дов, " получается результат, который не только довольно точен и столь близок [к истинному результату], что можно не об­ращать внимания на разницу, но и совер­шенно точен" 3. Таким образом, исчисление континуума лишь по видимости преодоле­вает противоречие континуума и дисконти­нуума: в действительности же противоре­чие не только не преодолевается, но фак­тически оказывается введенным в саму структуру операционных методов.







Дата добавления: 2014-10-22; просмотров: 653. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Законы Генри, Дальтона, Сеченова. Применение этих законов при лечении кессонной болезни, лечении в барокамере и исследовании электролитного состава крови Закон Генри: Количество газа, растворенного при данной температуре в определенном объеме жидкости, при равновесии прямо пропорциональны давлению газа...

Ганглиоблокаторы. Классификация. Механизм действия. Фармакодинамика. Применение.Побочные эфффекты Никотинчувствительные холинорецепторы (н-холинорецепторы) в основном локализованы на постсинаптических мембранах в синапсах скелетной мускулатуры...

Шов первичный, первично отсроченный, вторичный (показания) В зависимости от времени и условий наложения выделяют швы: 1) первичные...

Эффективность управления. Общие понятия о сущности и критериях эффективности. Эффективность управления – это экономическая категория, отражающая вклад управленческой деятельности в конечный результат работы организации...

Мотивационная сфера личности, ее структура. Потребности и мотивы. Потребности и мотивы, их роль в организации деятельности...

Классификация ИС по признаку структурированности задач Так как основное назначение ИС – автоматизировать информационные процессы для решения определенных задач, то одна из основных классификаций – это классификация ИС по степени структурированности задач...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия