Краткие теоретические сведения. Реальный выбор оборудования является многокритериальным

 

Реальный выбор оборудования является многокритериальным. Специфика такого выбора состоит в неизбежности применения той или иной схемы компромисса, что не исключает влияния субъективного фактора на его результат. Один из возможных подходов к решению проблемы изложен в [Статников Р.Б., Матусов Н.Б. Многокритериальное проектирование машин. М.: Знание, 1989, 48 с. (Новое в жизни, науке и технике. Сер. Математика, кибернетика, №5)]. Важным его элементом является построение следующего подмножества X паретовского множества P, которое ниже будем называть множеством выбора:

 

. (1)

Здесь знак соответствует знаку для максимизируемых критериев и знаку для минимизируемых критериев. Соответственно знаком ниже обозначаем знак < для максимизируемых критериев и знак > для минимизируемых критериев. Кроме того, в (1) - значение i -го критерия на варианте выбора x, - предельное значение этого критерия, которое еще устраивает лицо, принимающее решения (ЛПР). Значение можно назвать границей притязаний по i –му критерию.

По приведенному определению множество X является четким. В этом заключается возможность обобщения метода.

Действительно, можно обратить внимание на две особенности множества X. Во-первых, при определении границ оптимальности ЛПР ориентируется на значения критериев, которые могут быть заданы с некоторой погрешностью. Во-вторых, сами границы оптимальности задаются с определенной степенью субъективности. Оба эти обстоятельства противоречат четкости множества X.

В рассматриваемом четком варианте метода выбора все альтернативы, не попавшие в X, раз и навсегда исключаются из процесса принятия решения независимо от близости к его границам. При этом преимущество, которое получают перед ним те варианты, которые попали в множество X и находятся так же близко к его границам, не выглядит достаточно обоснованным.

Таким образом, целесообразно с самого начала строить множество X как нечеткое, связывая размытость его границ с указанными выше неточностью задания значений критериев и субъективностью границ притязаний. Описанный ниже метод позволяет учесть одновременно оба указанных фактора.

Предложим ЛПР на этапе построения множества выбора указать каждому критерию две границы: границу притязаний и критическую границу .

Отличие границы от ранее рассмотренной в том, что условие означает безусловное выполнение требований ЛПР по i –му критерию с учетом неточности в определении значения и возможном изменении в его предпочтениях.

Смысл критической границы состоит в том, что все варианты выбора , для которых , безусловно не удовлетворяют требованиям ЛПР по i –му критерию.

Для вариантов выбора , для которых , степень выполнения требований ЛПР целесообразно считать тем большей, чем ближе к границе притязаний.

Обозначим указанную степень выполнения требований ЛПР по i –му критерию для варианта через . Определим ее величину так:

(2)

Таким образом, в случае, когда задано четко, введенная величина дает более гибкий подход к построению множества выбора, чем даваемый формулой (1).

Далее рассмотрим случай, когда значение i –го критерия на варианте выбора четко задать невозможно. Нечеткость может возникнуть из-за неопределенности в задании параметров объектов, а также может содержаться в их структуре и алгоритмах их функционирования.

Вследствие этого, сделаем обобщение описанной выше методики на случай нечеткого задания .

Множество альтернатив выбора будем считать конечным:

, .

Здесь - число альтернатив выбора, - -ая альтернатива.

Пусть альтернативы оцениваются критериями () и проведены все необходимые расчеты, в результате которых получены нечетких чисел, каждое из которых - - значение i –го критерия на варианте выбора . Далее нечеткое число будем описывать с помощью функции принадлежности . Для удобства алгоритмической реализации метода зададим функцию тремя значениями , показанными на рис. 1.

Рис.1

Далее на основании анализа полученного массива данных ЛПР устанавливаем граничные значения каждого критерия, т.е. границу притязаний и критическую границу . Будем считать, что все критерии максимизируемые (). Тогда функция, описывающая нечеткую границу по каждому критерию , будет иметь вид (рис. 2):

 

Рис..2

Оценим степень выполнения требования ЛПР -ой альтернативой по

-му критерию следующей величиной:

. (3)

Нетрудно заметить, что эта величина может быть интерпретирована как функция принадлежности -й альтернативы к нечеткому множеству альтернатив, удовлетворяющих требованию ЛПР по -му критерию (рис. 3).

Рис. 3

Действительно, во-первых, согласно формуле (3), . Во-вторых, в случае четкого задания , т.е. при алгоритм метода совпадает с алгоритмом образования множества выбора по формуле (2). Наконец, в случае четкого задания и и границы , т.е. при алгоритм метода совпадает с алгоритмом образования множества выбора по формуле (1). Таким образом, предлагаемый нечеткий вариант метода совпадает с четким аналогом при четких значениях критериев и границ.

На основании изложенного построим нечеткое множество решения задачи выбора. Для этого построим его функцию принадлежности, следуя принципу теории нечеткости Заде [1]:

. (4)

В соответствии с этим множество-решение будет иметь следующий вид:

(5)

В ряде практических случаев значения некоторых критериев не могут быть рассчитаны даже как нечеткие числа. В частности, информация об их величине может быть получена только в виде словесных описаний экспертов. Но и в этом случае задача может быть сведена к рассмотренной выше ситуации. Математическим инструментарием здесь служит понятие лингвистической переменной (ЛП) [1].

Естественным обобщением рассмотренного метода может быть распространение его на случай смешанного задания критериев и границ выбора, которые могут быть представлены как четкими или нечеткими числами, так и лингвистическими переменными. Из вышесказанного следует, что данная ситуация сводится к нечеткому варианту метода.

Следует отметить, что степень принадлежности каждого из вариантов (альтернатив) к множеству S определялась в (5), исходя из предположения о равнозначности всех критериев. Часто ЛПР имеет свою систему предпочтений критериев, которая может определяться конкретными условиями задачи.

Тогда, если имеется иерархия критериев, заданная, например, аддитивной мерой на множестве критериев, так что выражает субъективную ценность для ЛПР i –го критерия, причем

, (6)

то, следуя [Sugeno M. Fuzzy measure and fuzzy integral // NranS. SICE. 1972. V.8. N2.P.95-102], функцию принадлежности нечеткого множества выбора можно рассчитать по формуле

, (7)

где

,

а есть множество номеров тех критериев, для которых значения критерия (в данном случае максимизируемого) больше, чем данное : .

Смысл оценки варианта выбора по формуле (7) состоит в том, что для ЛПР важна как величина критериев выбора, так и суммарная ценность тех критериев, значения которых устраивает ЛПР.

В качестве примера рассмотрим применение описанного метода к выбору квартиры. В результате отбора квартир из базы данных риэлтерской компании клиенту (ЛПР) было представлено множество из 7 вариантов, приведенных в табл. 1. Критерии отбора и меры их ценностей приведены в табл. 2. В данном случае, для ЛПР наиболее важным критерием оказалась цена квартиры, чем и определяется высокая мера ценности для этого критерия.

Таблица 1

Варианты	Q1	Q2	Q3	Q4	Q5	Q6
Квартира 1	A1					4, 5	0, 1
Ma						0, 3
A2					7, 2	0, 5
Квартира 2	A1						0, 5
Ma						0, 7
A2						0, 8
Квартира 3	A1						0, 3
Ma						0, 3
A2					8, 5	0, 3
Квартира 4	A1						0, 7
Ma					6, 4	0, 7
A2						0, 7
Квартира 5	A1
Ma
A2
Квартира 6	A1					9, 6	0, 5
Ma					10, 5	0, 5
A2					13, 4	0, 5
Квартира 7	A1					10, 7	0, 9
Ma						0, 9
A2					23, 5	0, 9

Таблица 2

Q	Название критерия	Вид оптимизации	Единицы измерения	Мера ценности
Q1	Жилая площадь	максимальная	м2	0.1
Q2	Площадь кухни	максимальная	м2	0.1
Q3	Количество комнат	максимальное	-	0.1
Q4	Номер этажа	минимальный	-	0.1
Q5	Стоимость	минимальная	тыс. усл. ед.	0.5
Q6	Престижность района	максимальная	-	0.1

 

В результате опроса экспертов (риэлтеров) были выявлены следующие коэффициенты престижности районов, представленные в табл. 3:

Таблица 3

№	Название района	Коэффициент престижа
	Волжский
	Фрунзенский	0.9
	Кировский	0.8
	Октябрьский	0.7
	Ленинский	0.5
	Заводской	0.3
	Поселки	0.1

 

 

В табл. 1 приведены значения указанных показателей для выделенного множества.

Множество границ притязаний и критических границ с учетом предпочтений ЛПР выбрано следующим образом (табл. 4):

Таблица 4

Q	Q1	Q2	Q3	Q4	Q5	Q6
Qo						0, 8
Qk					7, 5	0, 3
Оптимизация	max	max	max	min	min	max

 

В результате реализации рассмотренной методики было получено нечеткое множество выбора (табл. 5):

Таблица 5

 

Кв.1	Кв.2	Кв.3	Кв.4	Кв.5	Кв.6	Кв.7
0, 6	0, 7	0, 3	0, 581	0, 4	0, 4	0, 4

Как видно из табл. 5, оптимальным, с учетом заданных ценностей критериев, является выбор квартиры 2.

 

В табл. 6 приведена классификация моделей и методов нечеткой оптимизации.

 

 

З А Д А Н И Е

 

1. Изучить по конспекту лекций и предлагаемой литературе основные понятия и определения теории нечетких множеств и методы оптимизации и принятия решений, выделенные в табл. 6 курсивом.

2. Построить алгоритмы методов многокритериальной оптимизации, выделенных в табл. 6 курсивом.

3. Составить и отладить программу на языке высокого уровня, реализующую один из построенных алгоритмов (по указанию преподавателя).

4. Оформить отчет о выполненной лабораторной работе.

 

С О Д Е Р Ж А Н И Е О Т Ч Е Т А

 

Отчет должен содержать следующие обязательные части:

1. Алгоритмы изученных методов многокритериальной оптимизации.

2. Описание и листинг текста программы на языке высокого уровня, реализующей один из построенных алгоритмов.

3. Листинг протокола работы программы, реализующей алгоритм метода, предложенного преподавателем.

Примечание. Листинги могут быть заменены электронными вариантами соответствующих файлов.