Коефіцієнт регресії

У моделі регресійного аналізу характеристикою кореляційного зв’язку є теоретична лінія регресії, що описується функцією y=f(x), яка називається рівнянням регресії.

На відміну від емпіричної, теоретична лінія регресії неперервна. Рівняння регресії в такому вигляді описує числове співвідношення варіації ознак х та у в середньому. Подаючи у як функцію від х, тим самим абстрагуються від множинності причин, штучно спрощуючи механізм формування варіації у. Аналіз причинних комплексів здійснюється за допомогою множинної регресії.

Різні явища по-різному реагують на зміну факторів. Для того щоб відобразити характерні особливості зв’язку конкретних явищ, статистика використовує різні за функціональним видом регресій ні рівняння.

Залежно від характеру зв’язку використовують:

лінійні рівнянняy=а+bх коли із зміною х ознака у змінюється більш-менш рівномірно;

нелінійні рівняння, коли зміна взаємопов’язаних ознак відбувається нерівномірно (з прискоренням, уповільненням або із змінним напрямком зв’язку), зокрема: степеневеy=ах^b, гіперболічнеy=а+b/х, параболічне y=а+bх+сх² тощо.

Вибір та обґрунтування функціонального виду регресії спирається на теоретичний аналіз суті зв’язку. При цьому лише окреслюються особливості форми регресії, але не завжди є можливість визначити її функціональний вид. До того ж у конкретних умовах простору і часу межі варіації взаємопов’язаних ознак значно вужчі за теоретично можливі. Якщо кривизна регресії невелика, то в межах фактичної варіації ознак зв’язок між ними досить точно описується лінійною функцією. Цим пояснюється, що частіше застосовуються лінійні рівняння або приведені до лінійного виду. У лінійному рівнянні параметр b − коефіцієнт регресії, вказує, на скільки одиниць в середньому зміниться у із зміною х на одиницю. Він має одиницю виміру результативної ознаки. У випадку прямого зв’язку b − величина додатна, а при зворотному − від’ємна. Параметр а − вільний член рівняння регресії, тобто це значення y при x =0. Якщо х не набуває нульових значень, цей параметр має лише розрахункове призначення. Параметри визначаються методом найменших квадратів, згідно з яким сума квадратів відхилень емпіричних значень у від теоретичних мінімальна: . Відповідно до умови мінімізації параметри обчислюються на основі системи нормальних рівнянь:

,

.

Звідси

.

Коефіцієнт регресії у невеликих за обсягом сукупностях схильний до випадкових коливань. Тому здійснюється перевірка його істотності за допомогою t − критерію (Ст’юдента), статистична характеристика якого для гіпотези Н₀: b =0 визначається таким чином: , де b − коефіцієнт регресії, m_b − власне стандартна похибка, що розраховується за формулою

;

де − відповідно залишкова та факторна дисперсії; n − обсяг сукупності.

Для коефіцієнта регресії визначаються довірчі межі b ± tµ_b.

Характеристикою відносної зміни у за рахунок х є коефіцієнт еластичності , який показує, на скільки процентів у середньому змінюється результативна ознака зі зміною факторної на 1%.

На підставі рівняння регресії визначаються теоретичні значення , тобто значення результативної ознаки за умови впливу лише фактора х при незмінному рівні інших факторів.