Повторный отбор Бесповторный отбор

 

при определении

среднего размера ; (5) (6)

ошибки признака

 

 

при определении

ошибки доли признака ; (7) (8)

 

 

1) Известно, что N = 500; млн. руб.; ; Р = 0, 997; t = 3.

Найдем объем выборки для расчета ошибки средней: при повторном отборе (по формуле 5) –

заводов;

при бесповторном отборе (по формуле 6) –

завода;

2) Известно, что N = 500; млн. руб.; ; Р = 0, 954; t = 2.

Определим объем выборки при бесповторном отборе (по формуле 6):

заводов.

 

3) известно, что N = 500; млн. руб.; ; Р = 0, 954;

t = 2.

 

Объем выборки для расчета ошибки доли будет:

при повторном отборе (по формуле 7) –

 

заводов;

 

при бесповторном отборе (по формуле 8) -

 

заводов;

 

В ы в о д ы: 1) численность выборки увеличится, если при прочих равных условиях уменьшить предельную ошибку; 2) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях уменьшить вероятность, с которой требуется гарантировать результат выборочного обследования; 3) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях уменьшить вероятность, с которой требуется гарантировать результат выборочного обследования; 3) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях увеличить предельную ошибку.

 

 

№ 3. На заводе 1000 рабочих вырабатывают одноименную продукцию. Из них со стажем работы до пяти лет трудятся 400 чел., а более пяти лет – 600 чел. Для изучения среднегодовой выработки и установления доли квалифицированных рабочих проведена 10%-ная типическая выработка с отбором единиц пропорционально численности рабочих по указанным группам (внутри групп применялся случайный метод отбора).

 

На основе обследования получены следующие данные:

 

Группа рабочих со стажем работы	Общая числен-ность рабочих чел., N	Число обследованных рабочих чел., n	Средне- дневная выра-ботка, шт.,	Дисперсия выра-ботки, число	Число квалифицированных рабочихв выборке, чел.,	Доля квалифицированных рабочих,
До 5 лет (включительно)						0, 8
Свыше 5 лет						0, 9
И т о г о

 

Определим: 1) с вероятностью 0, 954 предельную ошибку выборки и границы в которых будут находиться среднедневная выработка всех рабочих завода; 2) с той же вероятностью пределы удельного веса квалифицированных рабочих в общей численности рабочих завода.

 

Решение. 1) Средняя ошибка типической выборки определяется по формуле:

; (9)

 

где - средняя из внутригрупповых дисперсий.

 

 

Она исчисляется по формуле:

;

Тогда = .

 

Определим среднюю ошибку выборки при бесповторном отборе (по формуле 9):

шт.

 

 

Технику расчета предельной ошибки при типической выборке аналогична вышеизложенному расчету предельной ошибки при случайном отборе:

 

или ;

 

Подставив данные, получим: шт.

Для определения возможных пределов среднедневной выработки всех рабочих завода первоначально нужно исчислить среднедневную выработку в выборочной совокупности по средней арифметической взвешенной:

 

шт.

 

пределы среднедневной выработки всех рабочих завода: шт.

С вероятностью 0, 954 можно утверждать, что среднедневная выработка всех рабочих завода находится в пределах 26, 4 шт. шт.

2) Средняя ошибка репрезентативности для доли исчисляется по формуле:

 

(10)

 

где - дисперсия доли является средней из внутригрупповых дисперсий.

Эта величина исчисляется по формуле:

 

=

 

Технику расчета покажем в таблице:

 

Группы рабочих со стажем работы	Числен-ность рабочих, чел.,	Доля квалифици-рованных рабочих,	Доля малоква-лифици-рованных рабочих,	Дисперсия доли	Взвешен-ный пока-затель дисперсии,
До 5 лет		0, 8	0, 2	0, 16	6, 4
Свыше 5 лет		0, 9	0, 1	0, 09	5, 4
И т о г о					11, 8

 

Тогда = .

 

Определим среднюю ошибку репрезентативности для доли (по формуле 10):

 

или .

 

Исчислим предельную ошибку выборочной доли с вероятностью 0, 954:

или 6, 4%.

 

Расчет предела при установлении доли в общем виде представляется следующим образом:

.

 

Определим среднюю долю для выборочной совокупности:

 

, или 86%.

 

Отсюда: .

 

Вывод: с вероятностью 0б954 можно утверждать, что доля квалифицированных рабочих на заводе будет находиться в пределах 79, 6% .

 

№ 4. С целью определения среднего эксплуатационного пробега 10000 шин легковых автомобилей, распределенных на партии по 100 шт., проводится серийная 4%-ная бесповторная выборка. Результаты испытания отобранных шин характеризуются следующими данными:

 

Показатели	Партии
Средний эксплуатационный пробег шин, тыс. км
Доля шин с пробегом не менее 42 тыс. км.	0, 80	0, 85	0, 90	0, 95

 

О п р е д е л и т е: 1) средние ошибки репрезентативности:

а) эксплуатационного пробега шин; б) удельного веса шин с пробегом не менее 42 тыс. км; 2) с вероятностью 0, 954 пределы, в которых будет находиться: а) средний эксплуатационный пробег всех обследуемых шин; б) доля шин, пробег которых не менее 42 тыс. км в генеральной совокупности.

Решение. 1) При бесповторном отборе серий средняя ошибка репрезентативности определяется по формулам:

 

 

для средней –

; (11)

 

для доли –

, (12)

 

 

где R - число серий в генеральной совокупности;

r - число отобранных серий;

- межсерийная дисперсия средних;

- межсерийная дисперсия доли.

 

Сначала исчислим обобщающие показатели.

Средний эксплуатационный пробег шин:

 

тыс. км.

 

Средний удельный вес шин с пробегом не менее 42 тыс.км равен:

 

(или 87, 5%)

 

для средней –

;

 

для доли –

 

 

Для ее расчета построим вспомогательную расчетную таблицу:

 

№ партии	Средний пробег шин, тыс. км,			Доля шин с пробегом не менее 42 тыс. км,
		-3, 75	14, 06	0, 8	-0, 075	0, 005625
		-1, 76	3, 06	0, 85	-0, 025	0, 000625
		1, 25	1, 56	0, 90	0, 025	0, 000625
		4, 25	18, 06	0, 95	0, 075	0, 005625
И т о г о			36, 74			0, 012500

 

 

Тогда

 

; .

 

Определим средние ошибки репрезентативности: для средней (по формуле 11) –

 

тыс. км;

 

для доли (по формуле 12) –

 

, или .

 

2) определим с вероятностью 0, 954 предельные ошибки репрезентативности для средней и для доли:

 

тыс. км;

%

 

 

Отсюда средний эксплуатационный пробег всех обследуемых шин будет находиться в пределах:

, или 40, 75 тыс. км 46, 75 тыс. км.

Средний удельный вес шин с пробегом не менее 42 тыс. км в генеральной совокупности будет находиться в пределах:

 

, или 82, 0% 93, 0 %.

 

№ 5. Используя условие и решение предыдущей задачи, определите вероятность того, что: а) предельная ошибка выборки при установлении среднего эксплуатационного пробега шин не превышает 4, 0 тыс. км; б) доля шин с пробегом не менее 42 тыс. км будет находиться в пределах от 83% до 92%.

Решение. При определении вероятности используется формула предельной ошибки:

.

В нашем примере следует использовать формулу предельной ошибки серийного отбора.

а) Дано: ; ; тыс. км; =9, 185;

тыс. км.

Требуется определить вероятность того, что разница средних величин эксплуатационного пробега шин в выборочной генеральной совокупности не превысит тыс. км, т.е.

 

тыс.км.

 

Подставляем данные в формулу:

 

 

;

 

 

По таблице значений вероятностей находим, что при t = 2, 67 вероятность будет 0, 992.

Следовательно, с вероятностью 0, 992 можно гарантировать, что средний эксплуатационный пробег шин легковых автомобилей в генеральной совокупности будет находиться в пределах 39, 75 тыс. км тыс. км;

б) Дано: ; ; ; = 0, 003125; %.

 

Требуется определить: , т.е. вероятность того, что доля шин с пробегом не менее 42 тыс. км в выборочной совокупности не будет отклоняться от доли генеральной совокупности более чем на 4, 5%.

 

Подставив данные в формулу

 

 

(см. решение на с.54), получим 4, 5% = ;

 

тогда Р = 0, 899.

 

Следовательно, вероятность того, что удельный вес шин с пробегом не менее 42 тыс. км будет находиться в пределах от 83% до 92%, равна 0, 899.