Для третьего года
IV квартал
После этого нужно просуммировать полученные процентные отношения I квартал 99, 6+92, 7+87, 4=279, 7; II квартал 103, 2+111, 0+123, 0=337, 2 и т.д.
Затем следует исчислить индексы сезонности (см. табл. 8, гр.11)
Т а б л и ц а 8
Динамика заготовок сельскохозяйственной продукции области
Индексы сезонности характеризуют размеры заготовок сельскохозяйственной продукции в зависимости от времени года. Наибольший удельный вес заготовок сельскохозяйственной продукции приходится на второй квартал. Чтобы наглядно представить сезонную волну, индексы сезонности наносят на график.
Т е м а 6. ИНДЕКСЫ
ЗАДАЧИ
№ 1. Имеются следующие данные о продаже товаров в магазинах потребительской кооперации:
В ы ч и с л и т ь: 1. Индивидуальные индексы цен и количества проданного товара. 2. Общие индексы: а) товарооборота; б) физического объема товарооборота; в) цен и сумму экономии или перерасхода от изменения цен. П о к а ж и т е взаимосвязь между исчисленными индексами.
№ 2. Имеются следующие данные о количестве произведенной продукции и ее себестоимости по предприятию:
В ы ч и с л и т ь: 1. Индивидуальные индексы себестоимости и количества произведенной продукции; 2. общие индексы: а) затрат на продукцию; б) физического объема продукции; в) себестоимости и экономический эффект от снижения себестоимости продукции. П о к а ж и т е взаимосвязь между исчисленными индексами. № 3. Имеются следующие данные о реализации товаров:
В ы ч и с л и т ь: 1) общий индекс товарооборота; 2) общий индекс цен; 3) общий индекс физического объема товарооборота; № 4. Имеются следующие данные о продаже товаров в магазинах города:
В ы ч и с л и т ь: 1) общий индекс физического объема товарооборота в 1988 г. по сравнению с 1986 г.; 2) общий индекс цен, если известно, что товарооборот в фактических ценах за этот период вырос на 12%; № 5. Имеются следующие данные о продаже товаров по району:
В ы ч и с л и т ь: 1) общий индекс товарооборота; 2) общий индекс цен; 3) общий индекс физического объема товарооборота; 4) прирост товарооборота за счет изменения количества проданных товаров и изменения цен. № 6. Имеются следующие данные о продаже сельскохозяйственных продуктов на колхозном рынке:
В ы ч и с л и т ь: 1. Общие индексы: а) стоимости товаров (товарооборота); б) физического объема товарооборота; в) цен; 2. изменение стоимости товара в 1988 г. по сравнению с 1987 г. за счет изменения количества проданного товара и изменения цен. П о к а ж и т е взаимосвязь исчисленных индексов.
№ 7. Товарооборот республики в 1988 г. по сравнению с 1987 г. вырос на 6%, розничные цены в среднем повысились на 4%. Как изменился физический объем товарооборота?
№ 8. Как в среднем изменились цены, если известно, что товарооборот вырос на 18%, а физический объем товарооборота увеличился на 16%? № 9. В отчетном году по сравнению с базисным цены на сельскохозяйственные товары в среднем снизились на 3%, физический объем продажи товаров вырос в среднем на 15%. Как изменился товарооборот сельскохозяйственных товаров?
№ 10. Имеются следующие данные о количестве произведенной продукции и ее себестоимости за три года:
В ы ч и с л и т ь: цепные и базисные индексы себестоимости и количества произведенной продукции: а) индивидуальные; б) общие.
П о к а ж и т е взаимосвязь исчисленных индексов. № 11. Имеются следующие данные о продаже в городе молока на колхозных рынках и в государственной торговле:
Вычислить: 1) индекс цен переменного состава; 2) индекс цен постоянного состава; 3) индекс структурных сдвигов. Покажите взаимосвязь исчисленных индексов. Поясните полученные результаты индексов.
№ 12. Имеются следующие данные о производстве однородной продукции по двум заводам:
Вычислить: 1) индекс себестоимости переменного состава; 2) индекс себестоимости постоянного состава; 3) индекс структурных сдвигов. Покажите взаимосвязь исчисленных индексов. Поясните полученные результаты.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
№ 1. Имеются данные о продаже товаров на колхозных рынках города в январе месяце:
Вычислить: 1) индивидуальные индексы цен и количества проданного товара: 2) общий индекс товарооборота; 3) общий индекс физического объема товарооборота; 4) общий индекс цен и сумму экономии или перерасхода от изменения цен; 5) прирост товарооборота за счет изменения цен и количества продажи товаров. Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами. Решение. 1. Индивидуальные индексы(однотоварные) равны: а) цен
б) количества проданных товаров
Так, для моркови
2. Общий индекс товарооборота исчисляется по формуле:
Товарооборот в январе 1988 г. вырос на 38, 6% по сравнению с январем 1986 г.
3. Общий индекс физического объема товарооборота (количества проданных товаров) исчисляется по следующей агрегатной форме индекса:
Это значит, что количество проданного товара в отчетном периоде было на 2, 5% больше, чем в базисном периоде.
4. Общий индекс цен равен:
т.е. цены на оба товара в среднем выросли на 35, 2 %.
Экономический эффект или иначе сумма сэкономленных или перерасходованных денег за счет изменения цен исчисляется по данным общего индекса цен и равна разности числителя и знаменателя индекса:
5. Прирост товарооборота исчисляется как разность между числителем и знаменателем индекса товарооборота:
Между исчисленными индексами существует взаимосвязь:
№ 2. Имеются данные о продаже товаров в универсаме города:
№ 3. Имеются следующие данные о продаже товаров магазина потребительской кооперации за два квартала 1988 г.:
Вычислить: 1) общий индекс товарооборота; 2) общий индекс цен; 3) сумму экономии (или перерасхода), полученную населением от изменения цен; 4) общий индекс физического объема товарооборота.
Решение. Общий индекс товарооборота равен:
Товарооборот во II квартале вырос по сравнению с первым кварталом на 6, 6%. Общий индекс цен исчислим по формуле среднегармонического индекса, который тождествен агрегатной форме индекса:
Для вычисления этого индекса определим предварительно индивидуальные индексы цен: для овощей 100-20=80%, или 0, 80 в коэффициентах; мяса и мясопродуктов 100+10=110%, или 1, 10 в коэффициентах; зерна 100%, или 1.
Следовательно,
или 92, 4%, т.е. цены в среднем снизились на 7, 6%.
Сумма экономии, полученная населением от снижения цен, составила: 146-158=-12 тыс. руб. Общий индекс физического объема товарооборота (количества проданного товара) может быть исчислен с помощью взаимосвязи индексов:
Следовательно,
№ 4. Имеются данные о продаже товаров на колхозных рынках города в I квартале 1988 г.:
Вычислить: 1) индивидуальные цепные и базисные индексы цен на яблоки; 2) общие цепные и базисные индексы цен и физического объема товарооборота.
Решение. Цепные и базисные индексы цен:
а) цепные
б) базисные
Между цепными и базисными индивидуальными индексами существует связь – произведение цепных индексов равно базисному:
Зная базисные индексы, можно вычислить цепные, разделив последующий базисный индекс на предыдущий. Например,
Аналогично исчисляются индивидуальные индексы количества проданных товаров. 2. Исчислим общие индексы цен: а) цепные
б) базисные
Как видно из вычислений, цепные общие индексы цен имеют переменные веса на уровне отчетного периода. Для таких индексов нет взаимосвязи между цепными и базисными индексами, что характерно для всех качественных индексов.
Исчислим общие индексы физического объема товарооборота: а) цепные
б) базисные
Данные примера показывают, что цепные и базисные индексы количественных показателей взвешиваются по постоянным весам, следовательно, между ними имеется связь: произведение цепных индексов равно базисному:
От базисных индексов можно перейти к цепным, как это показано выше.
№ 5. Имеются данные о выпуске продукции «А» по двум заводам:
Вычислить: 1) индекс себестоимости переменного состава; 2) индекс себестоимости постоянного состава; 3) индекс структурных сдвигов. Решение. 1. Вычислим индекс себестоимости переменного состава, который равен соотношению средней себестоимости продукции по двум заводам:
Средняя себестоимость продукции по двум заводам в отчетном и базисном периодах равна:
Следовательно, индекс себестоимости переменного состава равен:
Индекс показывает, что средняя себестоимость изделия по двум заводам снизилась на 14, 5%. Это снижение обусловлено изменением себестоимости продукции по каждому заводу и изменением структуры продукции (удельного веса продукции заводов). Выявим влияние каждого из этих факторов на динамику средней себестоимости, исчислив индексы себестоимости постоянного состава и структурных сдвигов.
2. Индекс себестоимости постоянного состава (индекс в постоянной структуре):
Себестоимость продукции по двум заводам в среднем снизилась на 13%. 3. Индекс структурных сдвигов равен:
= 21, 6: 22, 0 = 0, 982, или 98, 2%.
Средняя себестоимость изделия в отчетном периоде снизилась дополнительно на 1, 8% за счет изменения структуры, т.е. за счет увеличения доли продукции 2-го завода с 50 до 60%, на котором уровень себестоимости продукции был ниже по сравнению с первым заводом. Исчисленные выше индексы можно вычислять по удельным весам продукции заводов, выраженных в коэффициентах: а) индекс себестоимости переменного состава –
б) индекс себестоимости постоянного состава-
в) индекс структурных сдвигов –
Индекс структурных сдвигов может быть вычислен так же с помощью взаимосвязи индексов. Известно, что индекс переменного состава равен произведению индексов постоянного состава и структурных сдвигов:
Следовательно,
Тема 7. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
ЗАДАЧИ
№ 1. Для определения срока службы металлорежущих станков было проведено 10%-ное выборочное обследование по методу случайного бесповоротного отбора, в результате которого получены следующие данные:
Определите для каждого варианта: 1) с вероятностью 0, 997 предельную ошибку выборки и пределы, в которых ожидается средний срок службы металлорежущих станков; 2) с вероятностью 0, 954 предельную ошибку репрезентативности для доли и пределы удельного веса станков со сроком службы свыше 8 лет. Ответ: для варианта 1: 1) ∆ х = 0, 6 лет; 2) ∆ ω = 9, 0%.
№ 2. С целью изучения выполнения норм выработки 5000 рабочими машиностроительного завода было отобрано в случайном порядке 1000 рабочих. Из числа обследованных 80% рабочих выполняют норму выработки на 100 % и выше. Определите с вероятностью 0, 997 ошибку выборки и возможные пределы доли рабочих завода, выполняющих и перевыполняющих норму выработки. Ответ: ∆ ω = 3, 4%.
№ 3. По данным 2%-ного выборочного обследования (n =100) средняя урожайность зерновых культур равна 32 ц/га при дисперсии, равной 6, 15. определите ошибку выборки и возможные пределы средней урожайности зерновых культур со всей посевной площади с вероятностью: а) 0, 954; б) 0, 997.
Ответ: а) ∆ х = 0, 5ц/га.
№ 4. Принимая распределение металлорежущих станков по сроку службы, приведенное в задаче № 1, за результаты ранее проведенного выборочного наблюдения, рассчитайте для каждого варианта, какое число станков следует подвергнуть наблюдению при условии, что: а) предельная ошибка выборки при определении среднего срока службы была бы не более одного года при вероятности 0, 997; б) то же при вероятности 0, 954; в) предельная ошибка доли станков со сроком службы свыше 8 лет была бы не более 5% с вероятностью 0, 954; в) предельная ошибка доли станков со сроком службы свыше 8 лет была бы не более 5% с вероятностью 0, 954; г) с той же вероятностью (0, 954) предельная ошибка доли не должна превышать 3%. Ответ: а) n = 39 станков.
№ 5. С целью определения среднего стажа работы рабочих завода произведена 20%-ная типическая пропорциональная выборка (внутри групп применялся метод случайного бесповторного отбора). Результаты обследования характеризуются следующими данными:
Определите с вероятностью 0, 954 ошибку выборки и пределы, в которых будет находиться: а) средний стаж работы всех рабочих; б) удельный вес рабочих со стажем до 5 лет.
Ответ: а) ∆ х = 0, 7года: б) ∆ ω = 4, 1%.
№ 6. Для оценки средней урожайности пшеницы посевную площадь совхоза в 5000 га разделили на 50 равных участков. Из них по методу случайной бесповторной выборки отобрали пять участков, где произвели сплошной учет фактического урожая. В результате получены следующие данные:
Определите: 1) с вероятностью 0, 997 предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет находиться средняя урожайность пшеницы. Ответ: 1) ∆ х = 0, 8ц/га; 2) ∆ n = 0, 6%.
№ 7. Партия готовых деталей упакована в 500 ящиков по пять штук в каждом. Для определения средней массы деталей обследовано пять ящиков. Результаты проверки показали, что средняя масса обследуемых деталей составляет 2 кг, межсерийная дисперсия равна 0, 025. определите с вероятностью 0, 954 ошибку выборки и пределы, в которых будет находиться средняя масса деталей, поступивших на склад. Ответ: ∆ х = 0, 14 кг.
№ 8. Из партия готовых продукции в 1000 шт. в случайном бесповторном порядке обследовано 100 шт., из которых продукция со Знаком качества составила 85%. Определите вероятность того, что допущенная при выборочном обследовании погрешность в оценке среднего процента продукции со Знаком качества не превысит: а) 5%; б) 10%. Ответ: а) t = 1, 47; б) t = 2, 94.
№ 9. В результате исследования 20 проб молока, поступившего из колхоза на молокозавод, определили, что средняя жирность молока 3, 6% при среднеквадратическом отклонении 0, 5%. Какова вероятность того, что возможная ошибка средней жирности поступившего молока не более 0, 3%? Ответ: t = 2, 68.
№ 10. В порядке 5%-ной серийно-гнездовой выборки обследовано пять сберегательных касс одного из городов. Результаты обследования показали, что средний размер вклада составляет 2000 руб., доля рабочих в общей численности вкладчиков обследованных сберегательных касс равна 60%, межсерийные дисперсии: а) для средней – 13155; б) для доли – 0, 0025.
Определите, с какой вероятностью можно гарантировать: а) предельную ошибку среднего вклада во всех сберкассах города, не превышающую 100 руб.; б) предельную ошибку доли рабочих в общей численности вкладчиков, равную 6%.
Ответ: а) t = 2, 0; б) t = 3, 08. .
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
№ 1. Для изучения оснащения заводов основными производственными фондами было проведено 10%-ное выборочное обследование, в результате которого получены следующие данные о распределении заводов по стоимости основных производственных фондов:
Требуется определить: 1) с вероятностью 0, 997 предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет находиться среднегодовая стоимость основных производственных фондов всех заводов, генеральной совокупности; 2) с вероятностью 0, 954 предельную ошибку выборки при определении доли и границы, в которых будет находиться удельный вес заводов со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. Решение. Предельная ошибка выборки (ошибка репрезентативности) исчисляется по формуле: где μ - средняя ошибка репрезентативности; t – коэффициент кратности ошибки, показывающий, сколько средних ошибок содержится в предельной ошибке.
Пределы возможной ошибки (∆) определяются с вероятностью. Значение t найдем по таблице интеграла вероятностей. Для Соответствует вероятность
t = 1……………………………………………. Р = 0, 683; t = 2……………………………………………. Р = 0, 954; t = 3…………………………………………….. Р = 0, 997 и т.д.
Конкретное количественное выражение предельная ошибка принимает после определения средней ошибки выборки. Для нахождения ошибки репрезентативности собственно случайной и механической выборок имеются нижеследующие формулы.
Повторная выборка при определении: среднего размера ошибки признака
средней ошибки доли признака Бесповторная выборка при определении:
среднего размера ошибки признака
средней ошибки доли признака
N - численность генеральной совокупности;
n - численность выборочной совокупности;
выборочной совокупности;
1. Для определения границ генеральной средней необходимо исчислить среднюю выборочную
Тогда
Для упрощения расчетов средней и дисперсии можно использовать способ моментов. Техника расчетов Итак, имеются данные: N = 500, N = 50 заводов; Средняя ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных фондов составит:
а) при повторном отборе (по формуле 1) –
б) при бесповторном отборе (по формуле 3) –
Следовательно, при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов в среднем мы могли допустить среднюю ошибку репрезентативности в 0, 25 млн. руб. при повторном и 0, 24 млн. руб. при бесповторном отборе в ту или иную сторону от среднегодовой стоимости основных производственных фондов приходящейся на один завод в выборочной совокупности. Исчисленные данные показывают, что при бесповторной выборке средняя ошибка репрезентативности (0, 24) меньше, чем при тех же условиях при повторном отборе (0, 25). В нашем примере Р = 0, 997, следовательно, t = 3. Исчислим предельную ошибку выборочной средней (∆ х): ∆ х = ± 3 μ; т.е. ∆ х = ± 3 · 0, 25 = ±0, 75 млн. руб.(при повторном отборе); ∆ х = ± 3 · 0, 24 = ±0, 72 млн. руб.(при бесповторном отборе). Порядок установления пределов, в которых находится средняя величина изучаемого показателя в генеральной совокупности в общем виде, может быть представлен следующим образом:
Для нашего примера среднегодовая стоимость основных производственных фондов в среднем на один завод генеральной совокупности будет находиться в следующих пределах: а) при повторном отборе - б) при бесповторном отборе -
Эти границы можно гарантировать с вероятностью 0, 997. 2. Вычисление пределов при установлении доли осуществляется аналогично нахождению пределов для средней величины. В общем виде расчет можно представить следующим образом:
где р – доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности. Доля заводов в выборочной совокупности со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. составляет:
Определяем предельную ошибку для доли. По условию задачи известно, что N = 500; n = 50; ω = 0, 66; P = 0, 95; t = 2. Исчислим предельную ошибку доли: при повторном отборе (по формуле 2) –
при бесповторном отборе (по формуле 4) -
Следовательно, с вероятностью 0, 954 доля заводов со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. в генеральной совокупности будет находиться в пределах:
Расчеты убеждают в том, что при бесповторном отборе ошибка выборки меньше, чем при тех же условиях при повторной выборке.
№ 2. Используя данные предыдущей задачи, требуется ответить, каким должен быть объем выборочной совокупности при условии, что: 1) предельная ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов (с вероятностью 0, 997) была бы не более 0, 5 млн. руб.; 2) то же при вероятности 0, 954; 3) предельная ошибка доли (с вероятностью 0, 954) была бы не более 15%. Решение. Для нахождения численности случайной и механической выборок имеются следующие четыре формулы:
|
100 = 91, 8%.
за три года по одноименным кварталам (см. с. 28 табл. 8):
,
.
.
= 0, 7: 0, 8 = 0, 875 (87, 5%). Следовательно, цена на морковь снизилась на 12, 5%.
= 1, 08, т.е. количество проданной моркови выросло на 8%. Соответствующие индексы для яблок будут равны 
=1, 02.
(138, 6%).
, или 102, 5%.
, (135, 2%),
тыс. руб. следовательно, в связи с ростом цен на 35, 2% население в отчетном периоде дополнительно израсходовало 49, 38 тыс. руб. на покупку данного товара.
тыс. руб. Этот прирост обусловлен изменением цен на товары и изменением количества проданных товаров. Прирост за счет изменения цен составил: 189, 84-140, 46=49, 38 тыс. руб. и за счет изменения количества проданных товаров: 140, 46-137, 0=3, 46 тыс. руб. Следовательно, увеличение товарооборота на 52, 84 тыс. произошло за счет роста цен на 49, 38 тыс. руб. и роста количества проданного товара на 3, 46 тыс. руб. (49, 38+3, 46=52, 84 тыс. руб.).
.
(103, 4%).
(106, 6%).
.
,
: 0, 924 = 1, 153 (115, 3%).
; 
;
; 
.
1, 162, или 116, 2%.
1, 057, или 105, 7%.
1, 162, или 116, 2%.
1, 194, или 119, 4%.
1, 104, или 110, 4%,
0, 795, или 79, 5%.
0, 877, или 87, 7%.
1, 104, или 110, 4%.
или 1, 104 × 0, 795 = 0, 877.
18, 8 руб.
22 руб.
или 85, 5%.
0, 870.
.
=
0, 855;
0, 870;
0, 982
0, 982.
,
; (1)
(2)
(3)
(4)
-дисперсия варьирующего (осредняемого) признака в
- доля данного признака в выборке;
- доля противоположного признака в выборке.
и дисперсию 
, техника расчета которых приведена в таблице:
млн. руб.;
= 
= 3, 13.
млн. руб.;
млн.руб.
; 
или 4, 27 млн.руб. ≤ 
≤ 4, 77 млн. руб.;
или 4, 28 млн.руб. ≤ 
; 
, или 66%.
, или 13, 4%;
, или 12, 7%.
или 52, 6% ≤ р ≤ 79, 4% при повторном отборе;
или 53, 3% ≤ р ≤ 78, 7% при бесповторном отборе.
