Типовые примеры и методы их решения. Пример 1.1.1. Предприниматель получил на полтора года кредит в размере 40 тыс

Пример 1.1.1. Предприниматель получил на полтора года кредит в размере 40 тыс. руб. с условием возврата 50 тыс. руб. Определите процентную ставку, учетную ставку и дисконт-фактор за полтора года. Чему равен индекс роста суммы кредита?

Решение. Полагая в формуле (1) (см. приложение 1) t = 1, 5 года, РV =40 тыс. руб., F V = 50 тыс. руб., получим величину процентной ставки за полтора года:

r_{1, 5}= = 0, 25, или, что равносильно, r_{1, 5} = 25%.

Аналогичным образом учетную ставку и дисконт-фактор находим соответственно по формулам (2), (4):

d_{l, 5} = = 0, 2 или d_{1, 5} = 20%;

 

v_{1, 5} = =0, 8 или v_1,.5 = 80%

Заметим, что величины d_{l. 5}, v_1..5 можно было найти, используя и другие соотношения. Например,

 

d_{l, 5}= _{= =0, 2}

 

v_{1., 5}=1-d_{1, 5}=1-0, 2=0, 8

Индекс роста В_{1, 5} суммы кредита показывает, во сколько раз возвращаемая сумма больше выданной:

B_{1, 5}= =1, 25.

Пример 1.1.2. Известно, что капитал, помещенный в банк, вырос за первый год в 1, 4 раза, а за второй год вся сумма увеличилась в 1, 2 раза. Определите индекс роста вклада и процентную ставку за два года. На сколько процентов увеличился капитал за все время?

Решение. Индекс роста капитала В_{1, 5} за два года находим перемножением индексов роста за каждый год:

B₂=1, 4 ^. 1, 2=1, 68.

Следовательно, двухгодовая процентная ставка, показывающая, на сколько процентов увеличится капитал, составит:

r₂ = B₂– 1= 1, 68 – 1=0, 68.

Таким образом, капитал за два года увеличится на 68%.

Пример 1.1.3. Имеется два варианта вложения капитала на 3 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 15%, за второй год вся сумма увеличится на 35%, а за третий год - еще на 10%. Для второго варианта рост капитала составит каждый год 20% от суммы предыдущего года. Какой вариант лучше?

Решение. Поскольку для первого варианта индексы роста капитала за каждый год равны 1, 15; 1, 35 и 1, 1, то индекс роста за 3 года составит:

1, 15 ^. 1, 35 ^. 1, 1 =1, 70775 1, 708.

Подобным образом находим индекс роста капитала за 3 года для второго варианта:

1, 2 ^. 1, 2 ^. 1, 2 =1, 728.

Так как согласно первому варианту за 3 года капитал увеличится на 70, 8%, а согласно второму варианту - на 72, 8%, то второй вариант вложения капитала лучше.

Заметим, что 70, 8% и 72, 8% представляют собой процентные ставки за 3 года.

Пример 1.1.4. Определите доходность в виде процентной ставки за предоставление потребительского кредита на следующих условиях: 45% стоимости покупок оплачивается сразу, а через год вносится оставшаяся часть стоимости покупок и 10% от стоимости покупок в качестве платы за кредит.

Решение. Воспользуемся формулой (1). Обозначим через Р стоимость покупок. Поскольку 45% стоимости покупок оплачивается сразу, то на один год кредит предоставляется в размере PV = 0, 55P. Величина дохода за предоставленный кредит составит FV-PV = 0, 1P. Поэтому

 

r₁= =0, 1818, или =18, 18%.

Пример 1.1.5. Найдите с 90 тыс. руб.: а) 15% " со 100"; б) 15% " на100"; в) 15% " во 100";.

Решение. Выражая 15% в десятичных дробях (т.е. получая 0, 15), пользуемся последовательно формулами (6), (7), (8) при r=0, 15 u Q=S=K=90 тыс. руб.:

a) = 90 ^. 0, 15 =13, 5 тыс. руб.;

 

6) = = 11, 739 тыс. руб.;

в) = =15, 882 тыс. руб.

Получили, что по отношению к одному числу проценты " на 100" меньше процентов " со 100", которые в свою очередь меньше процентов " во 100";.

Для проверки найденных процентов " на 100" надо из данного числа (90 тыс. руб.) вычесть полученные проценты " на 100" (11, 739 тыс. руб.), определив тем самым так называемое начальное число. Затем от начального числа найти проценты " со 100 ", которые должны совпадать с найденными согласно условию задачи процентами " на 100";. Выполним эти действия:

90 – 11, 739 = 78, 261 тыс. руб.;

78, 261^. 0, 15= 11, 739 тыс. руб.

Для проверки найденных процентов " во 100" надо к данному числу (90 тыс. руб.) прибавить полученные проценты " во 100" (15, 882 тыс. руб.) и затем от найденной суммы (т.е. начального числа 105, 882 тыс. руб.) найти проценты " со 100 ":

90 + 15, 882 = 105, 882 тыс. руб.;

105, 882 ^. 0, 5 = 15, 882 тыс. руб.

Пример 1.1.6. Предприниматель реализовал партию товара за 80 тыс. руб., получив при этом 25% прибыли. Определите величину прибыли и себестоимость товара.

Решение. Поскольку 80 тыс. руб. представляют собой сумму себестоимости товара и процентов " со 700" этой себестоимости (прибыли), то величина прибыли определяется по формуле (7) вычисления процентов " на 100";. Полагая S=80 тыс. руб., r = 0, 25, находим:

= =16 тыс. руб.

 

Следовательно, себестоимость товара составляет 80 - 16 = 64 тыс.руб.

Пример 1.1.7. Предприниматель реализовал партию товара за 57 тыс. руб., получив при этом 5% убытка. Определите величину убытка и себестоимость товара.

Решение. Поскольку 57 тыс. руб. представляют собой разность себестоимости товара и процентов " со /00" этой себестоимости (убытка), то величина убытка определяется по формуле (8) вычисления процентов " во /00" при К = 57 тыс. руб. и r = 0, 05:

= = 3 тыс. руб.

Следовательно, себестоимость товара составляет 57 + 3 = 60 тыс. руб.

Из разобранных двух последних примеров видно, что при применении формул вычисления процентов " на 100" или " во 100" (формулы (7) и (8)) вначале нужно определить, с каким капиталом (согласно условию задачи) имеем дело - с наращенным или уменьшенным, после чего решение задачи не представляет трудностей.