Типовые примеры и методы их решения. Пример 1.4.1. Покупатель приобрел телевизор стоимостью 3,6 тыс

Пример 1.4.1. Покупатель приобрел телевизор стоимостью 3, 6 тыс. руб. При этом он сразу уплатил 25% стоимости телевизора, а на остальную сумму получил кредит на б месяцев под простую процентную ставку 20% годовых. Кредит погашается ежемесячными платежами.

1. Составьте план погашения кредита с помощью " правила 78", если проценты начисляются на всю сумму кредита и при' соединяются к основному долгу в момент открытия кредита, причем погашение долга с процентами происходит равными величинами в течение всего срока кредита.

2. Составьте план погашения кредита с учетом, что долг с течением времени уменьшается и процентные платежи за пользование потребительским кредитом рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам же основной долг выплачивается равными суммами.

Решение. Поскольку покупатель сразу уплатил 3, 6 ^. 0, 25 = 0, 9 тыс. руб., то он получил кредит в размере 3, 6 - 0, 9 = 2, 7 тыс. руб.

1. Наращенную сумму долга за 6 месяцев (0, 5 года) находим по формуле наращения простыми процентами (10):

F = 2, 7(1 + 0, 5^. 0, 1) = 2, 97 тыс. руб.

Определяем величину начисленных процентов: I = 2, 97 – 2, 7= 0, 27 тыс. руб.

Так как всего 6 погасительных платежей, то величина каждого из них составит:

тыс. руб.

Составим план выплат с помощью " правила 78";. Находим сумму порядковых номеров всех платежей: 1+2+3+4+5+6= 21. Согласно " правилу 78" часть первого погасительного платежа пойдет на выплату от общей начисленной величины процентов (т.е. ), а оставшаяся часть погасительного платежа пойдет в счет выплаты основного долга. Часть второго погасительного платежа пойдет на выплату от общей начисленной величины процентов (т.е. ), а оставшаяся часть платежа пойдет в счет выплаты основного долга. Для третьего платежа надо взять дробь и т.д.

Таким образом, из первого погасительного платежа в счет уплаты процентов пойдет тыс. руб. Следовательно, в первом месяце часть основного долга погашается в размере 0, 495-0, 077 =0, 418 тыс. руб. На начало следующего месяца получим остаток основного долга, равный 2, 7–0, 418 = 2, 282 тыс. руб.

Во втором месяце в счет уплаты процентов пойдет от общей суммы начисленных процентов, что составляет тыс. руб., а часть основного долга погашается в размере 0, 495-0, 064=0, 431 тыс. руб. На начало третьего месяца получим остаток основного долга, равный 2, 282-0, 431=1, 851 тыс. руб. и т.д. Для наглядности результаты всех расчетов представим в виде таблицы.

План погашения кредита

Номер месяца	Остаток основного долга на начало месяца, тыс. руб.	Дроби	Погашение общей величины начисленных процентов, тыс. руб.	Погашение основного долга, тыс. руб.
	2, 7	6/21	0, 077	0, 418
	2, 282	5/21	0, 064	0, 431
	1, 851	4/21	0, 051	0, 444
	1, 407	3/21	0, 039	0, 456
	0, 951	2/21	0, 026	0, 469
	0, 482	1/21	0, 013	0, 482
			0, 27	2, 7

Последняя строка таблицы служит для контроля произведенных расчетов: сумма всех чисел, стоящих в строчках четвертого столбца, должна равняться общей величине начисленных процентов (называемой стоимостью кредита), а аналогичная сумма для пятого столбца - основному долгу. Кроме того, для каждого месяца сумма соответствующих строчек четвертого и пятого столбцов постоянна и равна величине погасительного платежа - 0, 495 тыс. руб.

С помощью " правила 78" заемщик также может приблизительно узнать, какую сумму в счет оплаты процентов ему не придется отдавать в случае возврата кредита раньше срока (если, конечно, такая ситуация предусмотрена в договоре). Пусть в нашем примере после двух погасительных платежей было принято решение возвратить кредит. Начиная с единицы, нумеруем оставшиеся четыре планируемых платежа и находим сумму их новых порядковых номеров: 1+ 2+ 3+ 4 = 10, Тогда общей величины начисленных процентов не придется выплачивать, что в данном примере составит тыс. руб.

Очевидно, что в кредитном договоре могут предусматриваться любые схемы весовых коэффициентов в распределении общей суммы процентов в течение периода кредитования. Например, при составлении плана погашения кредита можно взять последовательность равных дробей (конечно, в сумме дающих единицу). В данном случае каждая дробь будет равна , и поэтому каждый раз в счет уплаты процентов пойдет величина тыс. руб., и каждый раз часть основного долга погашается в размере 0, 45 - 0, 045 = 0, 405 тыс. руб. Таким образом, получаем равномерное распределение выплат процентов и выплат основного долга.

2. При втором способе погашения кредита учитывается, что долг не является постоянной величиной, а с течением времени уменьшается, и процентные платежи за пользование потребительским кредитом рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам же долг выплачивается равными суммами.

Как и в первом способе, ежемесячные погасительные платежи представляют собой сумму выплаты части основного долга и процентного платежа для данного месяца.

Каждый месяц выплачивается часть основного долга, равная тыс. руб., или 450 руб.

Процентные платежи для каждого месяца найдем с учетом постепенного уменьшения величины долга. За первый месяц начисляются проценты в размере

тыс. руб.

За второй месяц начисляются проценты на остаток долга:

тыс. руб. или 37б5 руб.

Аналогичным образом для третьего платежа получим:

тыс. руб., или 30 руб.,

и т.д. Фактически при вычислении процентных платежей мы величину первого процентного платежа умножаем последовательно на дроби . Таким образом: руб., руб., руб. Следовательно, общая величина процентного платежа (стоимость кредита):

I = 45+37, 5+30+22, 5+15+7, 5=157, 5руб.,

что можно получить и пользуясь формулой (17). Действительно, полагая Р=2700 руб., k=6, n=0, 5 и r=0, 2, получим:

руб.

Для наглядности представим план погашения кредита в табличном виде.

Номера месяцев	Остаток основного долга на начало месяца	Процентный платеж	Ежемесячная выплата основного долга	Величина ежемесячного погасительного платежа
		37, 5		487, 5
		22, 5		472, 5
S
б		7, 5		457, 5
		157, 5		2857, 5

Заметим, что, как и в предыдущей таблице, последняя строка служит для контроля правильности расчетов.

Видно, что при данной схеме погасительных платежей общая величина выплат меньше на 112, 5 руб. по сравнению со способом погашения кредита, изложенным ранее.

Если же выплачивать кредит равными долями, то каждый погасительный платеж равен:

руб.

Заметим, что при изложенном способе погашения кредита можно считать, что первоначальная величина долга остается постоянной, но каждый месяц меняется процентная ставка. Так, если в первый месяц она равнялась 20% годовых, то во втором месяце - , в третьем - и т.д.

Пример 1.4.2. Банк предоставил господину N кредит с 4 марта по 16 июля того же года под залог ста пятидесяти ценных бумаг. Курсовая стоимость каждой ценной бумаги на день выдачи кредита составляет 400 руб. Кредит предоставлен под процентную ставку 30% годовых, и его сумма составляет 75% величины залога. Затраты банка на обслуживание долга в размере 1% от номинальной суммы кредита были удержаны вместе с начисленными процентами в момент предоставления кредита. Господин N 16 июля выплатил банку только 25 тыс. руб. Банк согласился на продление погашения кредита до 16 августа под 36% годовых, не взимая сразу при этом начисленные проценты на остаток долга. Найдите величину кредита, полученного господином N, и определите, какую сумму господин N должен будет выплатить банку 16 августа.

Решение. При расчетах, связанных с обслуживанием кредита под залог материальных ценностей, используют обыкновенные проценты с точным числом дней.

Вначале определяем курсовую стоимость всех денных бумаг:

руб.

Следовательно, номинальная величина кредита составляет:

руб.

Так как с 4 марта по 16 июля - 134 дня, то по формуле (12) вычисляем процентный платеж за кредит:

руб.,

который, естественно, можно было найти и пользуясь формулой , определив вначале значение дивизора и полагая t=134 дня. Затраты банка на обслуживание долга составят:

руб.

Банк предварительно взыскивает процентный платеж и оплату за обслуживание долга, поэтому клиент получил кредит в размере:

45 000 - 5025 - 450 = 39 525 руб.

Видно, что господин N получил " на руки" меньшую сумму, чем номинальная величина кредита.

На 16 июля остаток долга составит: 45 000 - 25 000 = 20 000 тыс. руб. Определяем процентный платеж за 31 просроченный день:

руб.

Таким образом, господин N 16 августа должен будет отдать банку:

20 000+620-20 620 руб.

Пример 1.4.3. Предпринимателю необходима сумма в 100 тыс. руб. на 3 месяца. Банк предоставил ему кредит в размере 80% от стоимости залога под 24% годовых и за обслуживание долга взыскал 1% от номинальной суммы кредита. Определите величину залога, если кредит взят 1 февраля и год невисокосный.

Решение. Обозначим через Р величину залога. Поскольку номинальная величина кредита равна 100 тыс. руб., плата за обслуживание долга равна 100 • 0, 01=1 тыс. руб., то Р равняется сумме 101 тыс. руб. (100 тыс. руб. + 1 тыс. руб.) и процентного платежа. Кредит выдается на 89 дней.

Величину процентного платежа можно получить, вычисляя проценты " во 100" с помощью одного из соотношений формулы (14). В данном случае, так как срок финансовой операции выражен в днях, воспользуемся соотношением, содержащим дивизор. Последовательно определяем дивизор и процентный платеж:

тыс. руб.

Следовательно, Р = 101 + 6, 371 - 107, 371 тыс. руб. Поэтому стоимость материальных ценностей, отдаваемых в залог, должна быть равна величине:

тыс. руб.

Заметим, что данный пример (как, впрочем, и другие) можно решить с помощью алгебраического уравнения. Обозначим через x стоимость залога, тогда 0, 8 x - номинальная величина кредита. Пользуясь условием примера, составляем уравнение:

решая которое находим x = 134, 213 тыс. руб.

Отличие полученных результатов на 1 руб. объясняется принятой в данном примере точностью вычисления, увеличивая которую можно, в частности, получить при решении первым способом 134, 21331 тыс. руб., при решении вторым способом -134, 21332 тыс. руб., т.е. разница между значениями составляет 1 коп.

Пример 1.4.4. Предприятие приобрело универсальный станок за 320 тыс. руб. Срок службы станка - 8 лет, после чего он реализуется по остаточной стоимости 50 тыс. руб. Составьте таблицу уменьшения стоимости ставка по годам. Рассмотрите два случая: а) уменьшение стоимости станка происходит равномерно; б) уменьшение стоимости станка происходит в соответствии с " правилом 78";.

Решение, а) Срок службы станка составляет n=8 лет. Обозначим Р первоначальную стоимость станка, Р_n - остаточную стоимость станка через n лет и . Полагая Р= 320 тыс. руб., Р_n = P ₈ =50 тыс. руб., получим =320 – 50=270 тыс. руб. При осуществлении схемы равномерной амортизации стоимость уменьшается ежегодно на одну и ту же величину тыс. руб. и таблица принимает вид:

Год службы	Амортизационные отчисления за год, тыс. руб.	Стоимость на конец года, тыс. руб.
	33, 75	286, 25
	33, 75	252, 5
	33, 75	218, 75
	33, 75
	33, 75	151.25
	33, 75	117, 5
	33, 75	83, 75
	33, 75

Остаточные стоимости, представленные в таблице, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 320 и разностью -33, 75.

б) Рассмотрим теперь схему ускоренной амортизации в соответствии с " правилом 78";. Обозначим:

Суть этой схемы заключается в следующем: в конце первого года стоимость имущества уменьшается на -ю часть величины ; в конце второго года – на -ю часть величины ; в конце третьего года – на -ю часть величины и т.д. до п- гогода, в конце которого стоимость имущества уменьшается на -ю частьвеличины .

Поскольку , то для составления таблицы необходимо величину последовательно умножать на тыс. руб., тыс. руб., тыс. руб. и т.д. Поэтому стоимость станка, например, на конец первого года составит: 320 – 60 = 260 тыс. руб.; на конец второго года – 260 – 52, 5 = 207, 5 тыс. руб. Продолжая вычисления аналогичным образом, получим таблицу:

 

Год службы	Амортизационные отчисления за год, тыс. руб.	Стоимость на конец года, тыс. руб.
	52, 5	207, 5
		162, 5
	37, 5
	22, 5	72, 5
		57, 5
	7, 5

Очевидно, амортизационные отчисления, представленные в таблице, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 60 и разностью (-7, 5). Относительно значений остаточных стоимостей такого вывода, конечно, сделать нельзя.