Типовые примеры и методы их решения. Пример 2.3.1. Рассчитайте накопленную сумму для различных вариантов начисления сложных процентов за один год (равный 360 дням)

Пример 2.3.1. Рассчитайте накопленную сумму для различных вариантов начисления сложных процентов за один год (равный 360 дням), если исходная сумма Р = 1000 руб. и номинальная годовая процентная ставка r(m) = 30%. Рассмотрите случаи, когда проценты начисляются один раз, по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно, ежечасно, ежеминутно, ежесекундно и непрерывно. Для каждого случая определите эффективную годовую процентную ставку.

Решение. Результаты, полученные для всех вариантов, приведем в виде таблицы, причем в четвертом столбце вычислены разности между наращениями с данным числом начисления процентов и базовым, а в пятом столбце указаны разности между наращенными суммами двух соседних строчек.

Р	Частота начисления	F 1	Наращение	V
	базовое	цепное
	Ежегодное (т = 1)		-	-	0, 3
	Полугодовое (т = 2)	1322, 5	22, 5	22, 5	0, 3225
	Ежеквартальное (m = 4)	1335, 47	35, 47	12, 97	0, 33547
	Ежемесячное (m = 12)	1344, 89	44, 89	9, 42	0, 34489
	Ежедневное (m = 360)	1349, 69	49, 69	4, 8	0, 34969
		Ежегодное (m =8640)	1349, 85	49, 85	0, 16	0, 34985
		Ежеминутное (m=518400)	1349, 86	49, 86	0, 01	0, 34986
		Ежесекундное (m =31104000)	1349, 86	49, 86		0, 34986
		Непрерывное (m = )	1349, 86	49, 86		0, 34986

Накопленную сумму и эффективную процентную ставку во всех случаях, кроме последнего, находим соответственно по формулам (58) и (63).

При непрерывном начислении процентов получим:

руб.,

Как и следовало ожидать, приведенные расчеты подтверждают наличие прямой зависимости между частотой начисления процентов и накопленной суммой; пятый столбец таблицы показывает, что с увеличением частоты начисления темп прироста накопленной суммы уменьшается. Если считать с точностью до копеек (что и имеет смысл при практических расчетах и как сделано при заполнении таблицы), то замечаем, что начисление сложных процентов каждую минуту (или за меньший период) доставляет ту же сумму, что и непрерывное начисление процентов. Даже начисление каждый час дает наращенную сумму лишь на 1 копейку меньше.

Эффективная процентная ставка с ростом частоты начисления сложных процентов растет и в пределе достигает величины 34, 986%.

Пример 2.3.2. На сумму 6 тыс. руб. в течение 5 лет начисляются непрерывные проценты. Определите наращенную сумму, если сила роста равна: а) 7%; б) 27%.

Решение, а) Полагая Р = 6 тыс. руб., п = 5, = 0, 07, по формуле (78) получим:

тыс. руб.

Если в данном случае применить формулу (55), т.е. осуществлять начисление обычных сложных процентов по процентной ставке r = 0, 07, то получим сумму:

тыс. руб.,

которая отличается от предыдущей всего на 99 руб., хотя наращение происходит достаточно долго - 5 лет. Такой результат объясняется небольшой величиной ставки. Ясно, что при более частом начислении сложных процентов эта разница будет еще меньше.

б) Так как в этом случае 5 = 0, 27, то

тыс. руб.,

Если же воспользоваться формулой (55) при r = 0, 27, то получим:

тыс. руб.,

т.е. имеем значительную разницу (3, 322 тыс. руб.) между найденными суммами.

Пример 2.3.3. Какую сумму необходимо поместить на бан­ковский депозит, чтобы при непрерывном начислении процентов по ставке 25% получить 30 тыс. руб. через: а) 4 года; б) 9 лет?

Решение, а) Для определения искомой суммы воспользуемся формулой (78). Полагая n = 4, F_n = F₄ = 30 тыс. руб., = 0, 25, из этой формулы получим:

тыс. руб.

б) Поскольку n = 9, то

тыс.руб.

Пример 2.3.4. За какой срок сумма 10 тыс. руб. достигнет величины 25 тыс. руб. при непрерывном начислении процентов и силе роста 28% за год?

Решение. Полагая в формуле (79) Р_п = 25 тыс. руб., Р = 10 тыс. руб., = 0, 28, находим:

года.

Если бы начислялись сложные проценты, например, по годовой номинальной процентной ставке r ⁽²⁾ = 0, 28, то по формуле (60):

года,

т.е., естественно, получили больший срок, чем при непрерывном начислении процентов.

Пример 2.3.5. Банк выдает ссуду на 7 лет под сложную процентную ставку 36% годовых с начислением процентов каждые полгода. Какую непрерывную ставку должен установить банк, чтобы за 7 лет получить тот же доход?

Решение. Пусть Р – величина ссуды, тогда при использовании процентной ставки банк получит через 7 лет (согласно формуле (58)):

Теперь для определения силы роста можно воспользоваться формулой (80):

Конечно, этот пример можно было решить, и воспользовавшись сразу формулой (97), связывающей эквивалентные силу роста и сложную процентную ставку.

Пример 2.3.6. Банк предоставил кредит на 4 года под непрерывную ставку 30% за год. Определите доходность такой финансовой операции для банка в виде: а) простой годовой процентной ставки; б) годовой эффективной процентной ставки.

Решение, а) Если Р - величина кредита, то через п - 4 года наращенная сумма, которую заемщик должен будет возвратить, составит:

Поэтому доходность в виде простой годовой процентной ставки составит (по формуле (23)):

Обратим внимание, что в данном случае по существу была применена формула (93).

б) При определении r_ef воспользуемся формулой (64):

Заметим, что годовая эффективная процентная ставка r_ef и сила роста связаны соотношением: , которым мы фактически и воспользовались при решении примера.

Пример 2.3.7. Предприниматель получил в банке ссуду на 6 лет по непрерывной ставке 25% за год, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 2% от величины ссуды. Определите доходность такой финансовой операции для банка в виде: а) простой годовой процентной ставки; б) годовой эффективной процентной ставки, если непрерывные проценты начисляются на исходную величину ссуды.

Решение. а) Обозначим через Р величину ссуды, тогда величина удержанных комиссионных составит 0, 02 P и господину N будет выдана сумма Р - 0, 02 Р = 0, 98 Р. Через 6 лет господин N должен будет вернуть (согласно формуле (78)) сумму, равную . Банк вычисляет доходность сделки исходя из условия: наращенная по простой процентной ставке r на реально выданную ссуду сумма 0, 98 P (1 + 6 r) должна быть равна возвращаемой господином N через 6 лет сумме Ре ^{1, 5}. Таким образом, доходность сделки r определяется из уравнения: . Откуда:

По существу воспользовались формулой (23).

б) В этом случае наращенная по эффективной процентной ставке r_ef на реально выданную ссуду сумма составит и, следовательно, получим уравнение:

Пример 2.3.8. На вклад 16 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты. Определите наращенную сумму за 6 лет, если интенсивность наращения изменяется следующим образом: в первые два года она равна 20%, в следующие три года – 24% и в последний год – 26%. Какую постоянную силу роста необходимо взять, чтобы за 6 лет получить такую же наращенную сумму?

Решение. Пусть Р = 16 тыс. руб. По формуле (78) за первые два года при силе роста = 0, 2 наращенная сумма составит:

тыс. руб.,

Далее наращение суммы F₂ непрерывными процентами за три года при = 0, 24 обеспечит величину:

тыс. руб.

И наконец, за последний год получим при = 0, 26:

тыс. руб.

Такую же наращенную сумму за 6 лет можно получить, если в качестве постоянной силы роста взять

Заметим, что представляет собой взвешенную сумму исходных непрерывных ставок, где весом для каждой ставки является доля времени (от общего срока 6 лет), в течение которого использовалась данная ставка. Действительно:

Пример 2.3.9. Господин N намеревается обменять имеющиеся у него немецкие марки и поместить полученную сумму на рублевом депозите сроком на 2 года под ставку 21% годовых с непрерывным начислением процентов, после чего наращенную сумму опять конвертировать в немецкие марки. При каком ожидаемом курсе продажи не имеет смысла такая финансовая операция, если курс покупки немецких марок на начало срока составляет 10 руб. 64 коп, и на валютном депозите денежную сумму можно поместить под процентную ставку 18% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов?

Решение. Обозначим через Р имеющуюся первоначальную сумму немецких марок, через К - ожидаемый курс продажи немецких марок через 2 года, при котором нет смысла в двойном конвертировании. Неизвестную величину К находим, приравнивая наращенные суммы на валютном и на рублевом депозитах с учетом конвертации:

отсюда руб. Если ожидаемый курс продажи будет менее 11 руб. 39 коп., то финансовая операция, связанная с двойной конвертацией, целесообразна.

Пример 2.3.10. Сумма 15 тыс. руб. была помещена в банк на некоторый срок, по истечении которого на эту сумму были начислены непрерывные проценты с силой роста 30% за год. После уплаты налога на проценты величина наращенной суммы составила 36, 2 тыс. руб. Определите срок, за который было осуществлено наращение, если ставка налога на проценты равна 12% и налог на все полученные проценты был выплачен один раз в конце срока.

Решение. Воспользуемся соотношением (101), разрешая его относительно п:

Так как в этом случае Р = 15 тыс. руб., =36, 2 тыс. руб., q= 0, 12, a = e ^{0, 3} и ln a =0, 3, то

года.

С целью проверки применим непосредственно формулу (101):

тыс. руб.

Пример 2.3.11. Сумма 15 тыс. руб. была помещена в банк на некоторый срок, в течение которого на сумму начислялись непрерывные проценты с силой роста 30% за год. После уплаты налога на все начисленные проценты величина итоговой наращенной суммы составила 36, 2 тыс. руб. Определите срок, в течение которого осуществлялось наращение, если ставка налога на проценты равна 12% и налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы.

Решение. Выражая из равенства (102) п, в обозначениях предыдущего примера находим:

года,

т.е. получен больший по величине срок, чем в предыдущем случае.