Системы одновременных уравнений

Цель работы. Освоения двухшагового метода наименьших квадратов для поиска параметров системы эконометрических уравнений.

Основные понятия. При моделировании достаточно сложных экономических объектов часто приходится вводить не одно, а несколько связанных между собой уравнений. А значит, при проведении регрессионного анализа модели может возникнуть необходимость оценивать систему уравнений. Оценка систем уравнений требует введения новых понятий и методов.

Рассмотрим классический пример системы одновременных уравнений, который демонстрирует основные проблемы, возникающие при попытке оценить неизвестные параметры. Таким примером является исследование зависимости спроса и предложения некоторого товара от его цены и дохода:

S_t = а₁ + а₂Р_t + ε_t (предложение);

D_t = b₁ + b₂P_t + b₃Y_t + u_t(спрос);

S_t = D_t (равновесие),

где Р_t - цена товара; Y_t - доход в момент времени t.

Записывая каждое уравнение для упрощения в отклонениях от средних значений получаем следующую систему:

s_t = a₂p_t + ε_t ;

d_t = b₂p_t + b₃y_t + u_t.

(Уравнение в отклонениях. Обозначим через х, = Х, — , у, = - отклонения от средних по выборке значений Х, и У,, Х = У = Решением задачи оценки параметров линейной функции у = а + bх будет та же прямая на плоскости (х, у), что и для исходных данных Х_t, Y_t. Переход от Х, Y к отклонениям х,у означает лишь перенос начала координат в точку ( ). Учитывая, что = = Σх_t = Σу_t = 0, получим:

Данная система уравнений называется структурной формой модели, соответственно, коэффициенты этих уравнений называются структурными коэффициентами. В соответствии с этой моделью цена и величина спроса-предложения определяются одновременно и поэтому эти переменные должны считаться эндогенными, а доход у_t, в отличие от них, - экзогенной переменной. Деление переменных на экзогенные и эндогенные определяется содержательной стороной модели. Предполагается, что в каждом уравнении экзогенные переменные не коррелированы с ошибкой. В то же время эндогенные переменные, стоящие в правых частях уравнений, как правило, имеют ненулевую корреляцию с ошибкой в соответствующем уравнении. В модели со стохастическими регрессорами наличие корреляции между регрессорами и ошибками приводит к смещённости и несостоятельности МНК-оценок.