Системы одновременных уравнений

Цель работы. Освоения двухшагового метода наименьших квадратов для поиска параметров системы эконометрических уравнений.

Основные понятия. При моделировании достаточно сложных экономических объектов часто приходится вводить не одно, а несколько связанных между собой уравнений. А значит, при проведении регрессионного анализа модели может возникнуть необходимость оценивать систему уравнений. Оценка систем уравнений требует введения новых понятий и методов.

Рассмотрим классический пример системы одновременных уравнений, который демонстрирует основные проблемы, возникающие при попытке оценить неизвестные параметры. Таким примером является исследование зависимости спроса и предложения некоторого товара от его цены и дохода:

S_t = а ₁ + а ₂Р_t + ε _t (предложение);

D_t = b ₁ + b ₂P_t + b ₃ Y _t + u _t (спрос);

S_t = D_t (равновесие),

где Р_t - цена товара; Y_t - доход в момент времени t.

Записывая каждое уравнение для упрощения в отклонениях от средних значений получаем следующую систему:

s _t = a ₂ p _t + ε _t ;

d _t = b ₂ p _t + b ₃ y _t + u _t.

(Уравнение в отклонениях. Обозначим через х, = Х, —, у, = - отклонения от средних по выборке значений Х, и У,, Х = У = Решением задачи оценки параметров линейной функции у = а + bх будет та же прямая на плоскости (х, у), что и для исходных данных Х_t, Y_t. Переход от Х, Y к отклонениям х, у означает лишь перенос начала координат в точку (). Учитывая, что = = Σ х_t = Σ у_t = 0, получим:

Данная система уравнений называется структурной формой модели, соответственно, коэффициенты этих уравнений называются структурными коэффициентами. В соответствии с этой моделью цена и величина спроса-предложения определяются одновременно и поэтому эти переменные должны считаться эндогенными, а доход у_t, в отличие от них, - экзогенной переменной. Деление переменных на экзогенные и эндогенные определяется содержательной стороной модели. Предполагается, что в каждом уравнении экзогенные переменные не коррелированы с ошибкой. В то же время эндогенные переменные, стоящие в правых частях уравнений, как правило, имеют ненулевую корреляцию с ошибкой в соответствующем уравнении. В модели со стохастическими регрессорами наличие корреляции между регрессорами и ошибками приводит к смещённости и несостоятельности МНК-оценок.