Автокорреляция данных временного ряда

Автокорреляция - это корреляционная связь между значениями одного и того же случайного процесса Х (t) в моменты времени t₁ и t₂. Функция, характеризующая эту связь, называется автокорреляционной. Корреляционная связь в этом случае измеряется с помощью коэффициента автокорреляции.

При анализе временных рядов автокорреляционная функция характеризует внутреннюю зависимость между значениями временного ряда и значениями того же самого ряда, но сдвинутыми на некоторый промежуток (лаг) времени. Иначе говоря, это корреляция членов ряда и передвинутых на L единиц времени членов того же ряда: х₁, х₂, х₃... и х_1+L, х_2+L, х_3+L. Запаздывание L называется лагом и представляет собой положительное целое число. Поскольку самое широкое распространение получили модели с лагом, равным одному году, то иногда автокорреляция определяется как корреляционная зависимость между значениями для одноименных месяцев года временного ряда.

Понятие автокорреляции иллюстрируется данными, представленными в табл. 6

Таблица 6.

Данные об объемах продаж автомобилей

 

Автокорреляция бывает нескольких видов. Различные виды автокорреляции и взаимосвязь между ними представлены на рис. 33.

Рис. 33. Виды автокорреляции

 

Обычный тип автокорреляции, который можно еще назвать серийной корреляцией первого порядка, характеризуется тем, что слагаемое ошибки в текущий момент времени прямо связано со слагаемым ошибки в предыдущий момент времени. В этом случае, используя для обозначения времени индекс t, модель простой линейной регрессии можно записать в виде:

(1)

с условием

(2)

где ε _t – величина ошибки в момент t;

ρ – коэффициент автокорреляции с запаздыванием на один период, измеряющий корреляцию между последовательными слагаемыми ошибки;

ν _t – нормально распределенные независимые ошибки с математическим ожиданием 0 и дисперсией σ ²_ν .

Уравнение (2) показывает, что величина одного слагаемого ошибки ε _t-1 непосредственно влияет на величину следующего ε _t. Значение коэффициента автокорреляции ρ, где -1 < ρ < 1, указывает на степень серийной корреляции. Если ρ равно 0, то серийной корреляции нет и значения ошибок независимы (ε _t = ν _t).

Коэффициент автокорреляции может использоваться для того, чтобы определить, являются ли данные случайными, имеется ли тренд (нестационарность), являются ли данные стационарными, есть ли в них сезонные колебания.

Коэффициент автокорреляции r_k с запаздыванием на k моментов наблюдения, т.е. между наблюдениями Y_t и Y_t-k определяется по формуле:

где r_k – коэффициент автокорреляции для запаздывания на k периодов;

– среднее значение ряда;

Y_t – наблюдение в момент времени t;

Y_t-k – наблюдение в момент времени t – 1.

По аналогии, коэффициент автокорреляции с запаздыванием на один период r₁ или корреляция между Y_t и Y_t-1, (корреляция первого порядка), вычисляется по формуле:

Коэффициент автокорреляции с запаздыванием на два периода r₂ или корреляция между Y_t и Y_t-2, (корреляция второго порядка), вычисляется по формуле:

В том случае, если ряд данных случаен, коэффициенты автокорреляции между Y_t и Y_t-k для любого запаздывания близки к нулю. Последовательные значения временного ряда не связаны друг с другом.

Если у ряда имеется тренд, то значения Y_t и Y_t-1 имеют сильную корреляцию, причем коэффициенты автокорреляции существенно отличны от нуля для первых нескольких периодов запаздывания, а с увеличением периода постепенно убывают до нуля.

В том случае, если ряд имеет сезонную компоненту, значительный коэффициент автокорреляции будет наблюдаться для периодов запаздывания, равных сезонному периоду или кратных ему. Сезонный период запаздывания равен 4 для ежеквартальных данных и 12 для ежемесячных данных.

Коэффициент автокорреляции имеет выборочное распределение, которое может быть аппроксимировано нормальной кривой со средним значением, равным нулю, и среднеквадратическим отклонением 1/ . Однако некоторые пакеты прикладных программ используют несколько отличную формулу для вычисления стандартных ошибок корреляционной функции. В этой формуле предполагается, что любая автокорреляция для запаздывания, меньшего k (где k > 1), отлична от нуля, а любая автокорреляция для запаздывания, большего или равного k, равна нулю. Для автокорреляции, соответствующей запаздыванию в один период, используется стандартная ошибка 1/ .

где SЕ(r_k) – стандартная ошибка автокорреляции с запаздыванием k; r_i – автокорреляция с запаздыванием i; k –время запаздывания; n – количество наблюдений во временном ряду.

Для того чтобы графически показать автокорреляционную функцию, используют коррелограмму (автокоррелограмму) представляющую значения коэффициентов автокорреляции и (и их стандартных ошибок) для последовательности лагов из определённого диапазона (например, от 1 до 30). На коррелограмме обычно отмечается диапазон в размере двух стандартных ошибок на каждом лаге, однако обычно величина автокорреляции более интересна, чем ее надежность, потому что интерес в основном представляют очень сильные (а следовательно, значимые) автокорреляции.

При изучении коррелограмм следует помнить, что автокорреляции последовательных лагов формально зависимы между собой. Рассмотрим следующий пример. Если первый член ряда тесно связан со вторым, а второй с третьим, то первый элемент должен также каким-то образом зависеть от третьего и т.д. Это приводит к тому, что периодическая зависимость может существенно измениться после удаления автокорреляций первого порядка, т.е. после взятия разности с лагом 1. Взятие разности также удаляет тренд, который обычно подавляет другие автокорреляции. Например, если имеется устойчивый линейный тренд, то каждое наблюдение в значительной степени является линейной функцией предыдущего наблюдения.