Пример 2. 1) Термами сигнатуры Σ={+,∙,≤,0} будут, например, 0, x, x+y, z∙(x+z)+0∙y

1) Термами сигнатуры Σ ={+, ∙, ≤, 0} будут, например, 0, x, x+y, z ∙ (x+z)+0 ∙ y, а x+y≤ (0+х) x термом не является.

2) Если Σ = { ƒ ⁽³⁾, g⁽¹⁾, h⁽²⁾ } ‑ функциональная сигнатура, то выражения h(ƒ (x₁, x₂, x₃), g(x₂)), g(ƒ (h(x₁, x₂), x₁, g(x₂)) – термы, а h(x₁, ƒ (x₁, x₃)) термом не является.

Пусть t(x₁, …, x_k) ‑ терм из T( Σ ), все переменные которого содержатся в множестве { x₁, …, x_k }, = ‑ алгебраическая система. Значение терма t на элементах a₁, …, a_k A (t(a₁, …, a_k)) определяется по индукции:

1) если t есть переменная x_i (константный символ с), то значение t есть а_i (с);

2) если t F(t₁, …, t_n), где F ⁽ⁿ⁾ Σ, t₁(x₁, …, x_k), …, t_n(x₁, …, x_k) Т (Σ)и значения термов t₁, …, t_n на элементах a₁, …, a_k равны b₁, …, b_n то значение терма t есть F(b₁, …, b_n).

Теорема 2. Если = ‑ алгебраическая система, Ø ≠ X B, то B(Х)= { t(a₁, …, a_n) | t T( Σ ), a₁, …, a_n X }.

Пример 3. Построить подсистему алгебраической системы , порожденную множеством Х:

1) t wx: val=" Cambria Math" /> < w: i/> < /w: rPr> < m: t> A< /m: t> < /m: r> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> = X ={ 1/2 };

2) t wx: val=" Cambria Math" /> < w: i/> < /w: rPr> < m: t> A< /m: t> < /m: r> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> = X ={ 1/2 };

3) t wx: val=" Cambria Math" /> < w: i/> < /w: rPr> < m: t> A< /m: t> < /m: r> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> = X ={ 22; -36 }.

Решение. 1) Так как Т( Σ )= { x₁, x₁x₂, (x₁x₂)x₃, x₁(x₂x₃), … }, то теореме 2 имеем A(X)= { 1/2, 1/2∙ 1/2, 1/2∙ 1/2∙ 1/2, … } = { 1/2, 1/8, 1/16, … } = { 1/2ⁿ| n≥ 1 }.

2) Из предыдущего примера следует, что { 1/2ⁿ| n≥ 1 } A(X). Так как операция деления является сигнатурной, то 1/2ⁿ 1/2^m=2^m-n A(X) для любых m, n≥ 1. Тогда C= { 2ⁿ| n Z } A(X). Так как множество С замкнуто относительно операций умножения и деления. т.е. является подсистемой алгебраической системы исодержит множество X, то A(Х) С. Следовательно, A(Х)=С.

3) Так как 2=22-8 (-36)-14 22 и любое число, получаемое из чисел 22, -36 с помощью операции вычитания четное, то A(X)=2