Логическое следствие в логике предикатов. Через обозначим кортеж переменных ; через

 

Через обозначим кортеж переменных ; через ‑ .

Пусть φ ₁( ), …, φ _n( ), ψ ( ) – формулы сигнатуры . Формула ψ называется логическим следствием формул φ ₁, …, φ _n (обозначается φ ₁, …, φ _n ⊨ ψ), если для любой алгебраической системы t wx: val=" Cambria Math" /> < w: i/> < /w: rPr> < m: t> A< /m: t> < /m: r> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> сигнатуры

⊨ (φ ₁( ) … φ _n( )→ ψ ( )).

Пример 9. Доказать, что

φ ₁( )→ φ ₂( ), φ ₂( )→ φ ₃( ) ⊨ φ ₁( )→ φ ₃( ), (1)

где φ ₁( ), φ ₂( ), φ ₃( ) – формулы сигнатуры .

Решение. Пусть t wx: val=" Cambria Math" /> < w: i/> < /w: rPr> < m: t> A< /m: t> < /m: r> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> = ‑ произвольная алгебраическая система сигнатуры . Необходимо показать, что

⊨ ((φ ₁( )→ φ ₂( )) (φ ₂( )→ φ ₃( ))→ (φ ₁( )→ φ ₃( ))).

Пусть и ⊨ (φ ₁( )→ φ ₂( )) (φ ₂( )→ φ ₃( )).

Покажем, что

⊨ φ ₁( )→ φ ₃( ). (2)

Предположим, что ⊨ φ ₁( ). Так как ⊨ (φ ₁( )→ φ ₂( ), то ⊨ φ ₂( ). Так как ⊨ φ ₂( )→ φ ₃( ), то ⊨ φ ₃( ). Таким образом, (2), а, следовательно, и (1), доказано.

Формула φ (x₁, …, x_n) сигнатуры называется тождественно истинной, если для любой алгебраической системы t wx: val=" Cambria Math" /> < w: i/> < /w: rPr> < m: t> A< /m: t> < /m: r> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> сигнатуры

⊨ φ (x₁, …, x_n). Формула φ (x₁, …, x_n) сигнатуры называется тождественно ложной, если формула φ (x₁, …, x_n) тождественно истина. Множество формул φ ₁, …, φ _n сигнатуры называется противоречивым или несовместным, если формула φ ₁∧ …∧ φ _n тождественно ложна.

Теорема 3. Пусть φ ₁,.., φ _m, ψ – формулы сигнатуры Следующие условия эквивалентны:

6) ;

7)

8) { φ ₁,.., φ _m, ψ } – противоречивое множество формул;

9) – тождественно истинная формула;

10) φ ₁∧..∧ φ _m∧ ψ – тождественно ложная формула.